Катя и Даша решили сыграть в дартс. У них есть 12 дротиков. Они играют по следующим правилам: если кто-то попадает в центр мишени, то больше не бросает дротики, а если промахивается, то продолжает кидать дротики, которые у неё остались. Выиграет та, которая быстрее попадёт в цель. . Найди вероятность события «Даше для поражения центра мишени потребовалось не более 3 дротиков», если она попадает в центр с вероятностью 0,1 при каждом выстреле.

Чтобы найти вероятность того, что Даше для поражения центра мишени потребовалось не более 3 дротиков, мы можем использовать модель геометрического распределения. В данном случае вероятность успеха (попадания в центр) в каждом броске составляет \( p = 0.1 \), а вероятность неуспеха (промаха) соответственно равна \( q = 1 - p = 0.9 \). **Шаг 1: Определение события** Нам нужно найти вероятность того, что Даша попадёт в центр не позднее, чем с 3-го броска. Это значит, что она может попасть с 1-го, 2-го или 3-го броска. Таким образом, искомая вероятность \( P(X \leq 3) \) равна: \[ P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \] где \( P(X = k) \) — вероятность того, что Даша попадёт в центр ровно с \( k \)-го броска. **Шаг 2: Вычисление вероятностей для каждого из случаев** 1. **Вероятность попасть с 1-го броска**: \[ P(X = 1) = p = 0.1 \] 2. **Вероятность попасть со 2-го броска**: Даша должна промахнуться с 1-го броска и попасть со 2-го броска: \[ P(X = 2) = q \cdot p = 0.9 \cdot 0.1 = 0.09 \] 3. **Вероятность попасть с 3-го броска**: Даша должна промахнуться с 1-го и 2-го бросков и попасть с 3-го броска: \[ P(X = 3) = q \cdot q \cdot p = 0.9 \cdot 0.9 \cdot 0.1 = 0.081 \] **Шаг 3: Суммирование вероятностей** Теперь складываем все найденные вероятности: \[ P(X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.1 + 0.09 + 0.081 \] \[ P(X \leq 3) = 0.271 \] **Ответ** Следовательно, вероятность того, что Даше для поражения центра мишени потребовалось не более 3 дротиков, составляет \( 0.271 \), или 27.1%.