Погостив у бабушки, лицеист Петя отправился домой через дремучий лес со своей собакой Пуговкой. Петя всё время шёл с постоянной скоростью 80 м/мин. Пуговка сперва шла рядом, а затем, учуяв опасность на самой тёмной полянке леса, в 15:45 побежала вперёд, увеличив при этом свою скорость в 2 раза. Добежав до полянки и мгновенно всё проверив, она вернулась обратно к Пете в 16:05. Дальше они снова шли вместе. В какое время на самой тёмной полянке была Пуговка?

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем её на несколько шагов и будем использовать известные нам данные. 1. **Запишем входные данные:** - Скорость Пети = 80 м/мин - Время, когда Пуговка побежала вперед = 15:45 - Время, когда Пуговка вернулась = 16:05 - Скорость Пуговки = 2 x 80 м/мин = 160 м/мин (когда она бегала вперед) 2. **Время, которое Пуговка провела на полянке:** - Пуговка вернулась в 16:05, а ушла в 15:45. Это значит, что она была в пути 20 минут: \[ 16:05 - 15:45 = 20 \text{ минут} \] 3. **Рассмотрим путь Пуговки:** - Пуговка бежит вперед, а затем возвращается обратно. Пусть время, которое она провела на полянке, обозначим как \( t \) (в минутах). - Пуговка потратила время на пробежку в обе стороны, а также время на полянке: \[ t + \text{время на путь} = 20 \text{ минут} \] 4. **Поиск времени, которое Пуговка потратила на путь:** - Пуговка движется в одну сторону со скоростью 160 м/мин. Пусть расстояние до полянки обозначим как \( d \) (в метрах). Тогда время, затраченное на путь в одну сторону, будет равно: \[ \text{время в одну сторону} = \frac{d}{160} \] - Так как она вернулась в то же место, время в обе стороны будет: \[ 2 \cdot \frac{d}{160} = \frac{d}{80} \] 5. **Составим уравнение:** - Теперь подставим это выражение в наше уравнение: \[ t + \frac{d}{80} = 20 \] 6. **Определим значение \( t \):** - Пусть \( t \) — это время, проведенное на полянке. Время на путь (в обе стороны) будет равно: \[ \frac{d}{80} \] - Так как мы не знаем d, нам не обязательно его вычислять, мы можем выразить \( t \) через известное. Важно, что после упрощения у нас остается \[ t = 20 - \frac{d}{80} \] 7. **Проверим временные отрезки:** - Пуговка ушла в 15:45 и вернулась в 16:05. Таким образом, она была на полянке 20 - \( t \) минут. Учитывая, что \( \frac{d}{80} \) это движение не повлияет на момент, когда Пуговка вернулась. 8. **Итак, в 16:05 она вернулась и была на полянке 20 минут.** Это означает, что было 5 минут на пути в одну сторону и 5 минут на возвращение, следовательно она провела 10 минут на полянке. 9. **Определим время на полянке:** - Пуговка вернулась в 16:05, значит она была на полянке с 15:55 до 16:05. Таким образом, **Пуговка была на самой тёмной полянке с 15:55 до 16:05**.