Представить числа z_1=1+i и z_2=1-i√3 в показательной форме и вычислить: а)z_1•z_2 б)z_1/z_2 в)z_1⁶

Давайте разберем данную задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Приведение к показательной форме

Числа \( z_1 = 1 + i \) и \( z_2 = 1 - i\sqrt{3} \) можно представить в показательной форме, используя комплексные числа в полярной системе.

Для \( z_1 = 1 + i \):

1. Найдем модуль: \[ |z_1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]

2. Найдем аргумент: \[ \theta_1 = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4} \]

3. Запишем в показательной форме: \[ z_1 = |z_1| \text{(cosθ + isinθ)} = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \]

Для \( z_2 = 1 - i\sqrt{3} \):

1. Найдем модуль: \[ |z_2| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 \]

2. Найдем аргумент: \[ \theta_2 = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3} \]

3. Запишем в показательной форме: \[ z_2 = |z_2| e^{i\theta_2} = 2 e^{-i\frac{\pi}{3}} \]

Шаг 2: Вычисления

Теперь мы можем перейти к вычислению \( z_1 \cdot z_2 \), \( \frac{z_1}{z_2} \), и \( z_1^6 \).

а) \( z_1 \cdot z_2 \)

Используем правило умножения: \[ z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \] Подставляем значения: \[ = \sqrt{2} \cdot 2 \cdot e^{i\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3}\right)} \]

Сначала найдем \( |z_1| \cdot |z_2| = 2\sqrt{2} \).

Теперь найдем аргумент: \[ \theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} \] Чтобы сложить, приведем к общему знаменателю (12): \[ \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}, \quad -\frac{\pi}{3} = -\frac{4\pi}{12} \] Таким образом: \[ \theta = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} \] Теперь в итоговой форме: \[ z_1 \cdot z_2 = 2\sqrt{2} e^{i\frac{7\pi}{12}} \]

б) \( \frac{z_1}{z_2} \)

Правило деления: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|} e^{i(\theta_1 - \theta_2)} \] Подставляем: \[ = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{i\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right)} \] Получаем: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{i\frac{7\pi}{12}} \]

в) \( z_1^6 \)

Согласно свойству возведения в степень: \[ z_1^6 = |z_1|^6 e^{i6\theta_1} \] Подставляем: \[ |z_1|^6 = (\sqrt{2})^6 = 8,\quad 6\theta_1 = 6 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \] Следовательно: \[ z_1^6 = 8 e^{i\frac{3\pi}{2}} \] Аргумент \( \frac{3\pi}{2} \) соответствует углу 270 градусов, что соответствует действительной части 0 и мнимой части -8 (так как \( e^{i\frac{3\pi}{2}} = -i \)). Таким образом: \[ z_1^6 = 0 - 8i \]

Ответ:

• а) \( z_1 \cdot z_2 = 2\sqrt{2} e^{i\frac{7\pi}{12}} \)
• б) \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{i\frac{7\pi}{12}} \)
• в) \( z_1^6 = -8i \)

Если есть дополнительные вопросы или что-то еще, с чем нужно помочь, дайте знать!