Найди площадь трапеции  S W K J SWKJ, если высота  K G KG образует квадрат  S W K G SWKG,  ∠ J = 45 ° ∠J=45°, а площадь треугольника  K J G KJG равна  35 35 дм 2 2 .

Для нахождения площади трапеции \(SWKJ\) необходимо использовать свойства углов, высоты и площадь треугольника, которую нам уже известна. 1. **Данные задачи:** - Высота \(KG\) образует квадрат \(SWKG\). Значит, стороны квадрата равны высоте трапеции. - Угол \(\angle J = 45^\circ\). - Площадь треугольника \(KJG = 35 \, \text{дм}^2\). 2. **Определение сторон:** Обозначим высоту \(h = KG\). Так как \(SWKG\) — квадрат, тогда стороны равны \(h\). 3. **Площадь треугольника \(KJG\):** Площадь треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b, \] где \(a\) и \(b\) — это основание и высота треугольника. В данном случае: - Основанием мы можем считать сторону \(KJ\). - Высота равна \(KG = h\). Запишите уравнение для площади: \[ 35 = \frac{1}{2} \times KJ \times h. \] Отсюда можем выразить \(KJ\): \[ KJ = \frac{70}{h}. \] 4. **Определение стороны \(SW\):** Из условия угла \(\angle J = 45^\circ\) следует, что \(KJ = KG\) (поскольку треугольник равнобедренный с обеими сторонами равными высоте \(KG\)). Это означает, что: \[ KJ = h. \] Подставляем это в выражение для \(KJ\): \[ h = \frac{70}{h}. \] Умножим обе стороны на \(h\) (при \(h \neq 0\)): \[ h^2 = 70. \] Таким образом, получаем: \[ h = \sqrt{70} \approx 8.37 \, \text{дм}. \] 5. **Нахождение площади трапеции \(SWKJ\):** Площадь трапеции рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}, \] где \(a\) и \(b\) — основания трапеции. Основаниями можно считать \(SW\) и \(KJ\). Так как \(KJ = h\), нам необходимо найти \(SW\). Поскольку \(SW\) = \(h\), то: \[ S = \frac{(h + h) \cdot h}{2} = \frac{2h^2}{2} = h^2. \] Подставляем значение: \[ S = h^2 = 70 \, \text{дм}^2. \] **Ответ:** Площадь трапеции \(SWKJ\) равна \(70 \, \text{дм}^2\).