Если утроить 2-ой член арифметической прогрессии и к результату прибавить 4-ый член, то получится число 24. Выясни, какая должна быть разность прогрессии, чтобы значение…

Обозначим первый член арифметической прогрессии как \( a \), а разность прогрессии как \( d \).

Тогда:

• 2-й член прогрессии: \( a + d \)
• 4-й член прогрессии: \( a + 3d \)
• 3-й член прогрессии: \( a + 2d \)
• 5-й член прогрессии: \( a + 4d \)

По условию задачи, если утроить 2-й член и прибавить 4-й, то получится 24:

\[ 3(a + d) + (a + 3d) = 24 \]

Упростим это:

\[ 3a + 3d + a + 3d = 24 \] \[ 4a + 6d = 24 \] \[ 2a + 3d = 12 \quad (1) \]

Теперь определим произведение 3-го и 5-го членов:

\[ P = (a + 2d)(a + 4d) \]

Раскроем скобки:

\[ P = a^2 + 4ad + 2ad + 8d^2 = a^2 + 6ad + 8d^2 \]

Теперь у нас есть выражение для \( P \), которое зависит от \( a \) и \( d \). Используя уравнение (1), выразим \( a \) через \( d \):

\[ 2a = 12 - 3d \implies a = 6 - \frac{3d}{2} \]

Подставим это значение \( a \) в выражение для \( P \):

\[ P = (6 - \frac{3d}{2})^2 + 6(6 - \frac{3d}{2})d + 8d^2 \]

Посчитаем каждую часть:

1. \( (6 - \frac{3d}{2})^2 = 36 - 18d + \frac{9d^2}{4} \)
2. \( 6(6 - \frac{3d}{2})d = 36d - 9d^2 \)
3. \( 8d^2 \)

Теперь сложим всё:

\[ P = 36 - 18d + \frac{9d^2}{4} + 36d - 9d^2 + 8d^2 \] \[ = 36 + 18d - \frac{9d^2}{4} + 8d^2 \]

Сначала упростим:

\[ = 36 + 18d + \left(8d^2 - \frac{9d^2}{4}\right) \]

Чтобы объединить подобные члены, приведем всё к общему знаменателю:

\[ 8d^2 - \frac{9d^2}{4} = \frac{32d^2}{4} - \frac{9d^2}{4} = \frac{23d^2}{4} \]

Теперь у нас есть:

\[ P = 36 + 18d + \frac{23d^2}{4} \]

Для нахождения минимума функции \( P(d) = \frac{23d^2}{4} + 18d + 36 \), используем метод нахождения минимума квадратной функции. Минимум достигается в точке:

\[ d_{\text{min}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{18}{2 \times \frac{23}{4}} = -\frac{18 \times 4}{46} = -\frac{72}{46} = -\frac{36}{23} \]

Таким образом, чтобы произведение 3-го и 5-го членов прогрессии было самым малым, разность прогрессии \( d \) должна быть равна \( -\frac{36}{23} \).