Обозначим первый член арифметической прогрессии как ( a ), а разность прогрессии как ( d ).
Тогда:
- 2-й член прогрессии: ( a + d )
- 4-й член прогрессии: ( a + 3d )
- 3-й член прогрессии: ( a + 2d )
- 5-й член прогрессии: ( a + 4d )
По условию задачи, если утроить 2-й член и прибавить 4-й, то получится 24:
[
3(a + d) + (a + 3d) = 24
]
Упростим это:
[
3a + 3d + a + 3d = 24
]
[
4a + 6d = 24
]
[
2a + 3d = 12 \quad (1)
]
Теперь определим произведение 3-го и 5-го членов:
[
P = (a + 2d)(a + 4d)
]
Раскроем скобки:
[
P = a^2 + 4ad + 2ad + 8d^2 = a^2 + 6ad + 8d^2
]
Теперь у нас есть выражение для ( P ), которое зависит от ( a ) и ( d ). Используя уравнение (1), выразим ( a ) через ( d ):
[
2a = 12 - 3d \implies a = 6 - \frac{3d}{2}
]
Подставим это значение ( a ) в выражение для ( P ):
[
P = (6 - \frac{3d}{2})^2 + 6(6 - \frac{3d}{2})d + 8d^2
]
Посчитаем каждую часть:
- ( (6 - \frac{3d}{2})^2 = 36 - 18d + \frac{9d^2}{4} )
- ( 6(6 - \frac{3d}{2})d = 36d - 9d^2 )
- ( 8d^2 )
Теперь сложим всё:
[
P = 36 - 18d + \frac{9d^2}{4} + 36d - 9d^2 + 8d^2
]
[
= 36 + 18d - \frac{9d^2}{4} + 8d^2
]
Сначала упростим:
[
= 36 + 18d + \left(8d^2 - \frac{9d^2}{4}\right)
]
Чтобы объединить подобные члены, приведем всё к общему знаменателю:
[
8d^2 - \frac{9d^2}{4} = \frac{32d^2}{4} - \frac{9d^2}{4} = \frac{23d^2}{4}
]
Теперь у нас есть:
[
P = 36 + 18d + \frac{23d^2}{4}
]
Для нахождения минимума функции ( P(d) = \frac{23d^2}{4} + 18d + 36 ), используем метод нахождения минимума квадратной функции. Минимум достигается в точке:
[
d_{\text{min}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{18}{2 \times \frac{23}{4}} = -\frac{18 \times 4}{46} = -\frac{72}{46} = -\frac{36}{23}
]
Таким образом, чтобы произведение 3-го и 5-го членов прогрессии было самым малым, разность прогрессии ( d ) должна быть равна ( -\frac{36}{23} ).
