Найди площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна 2π , а угол сектора равен 60 ∘ . В ответ запиши площадь, делённую на π .
Чтобы найти площадь кругового сектора, нам нужно использовать следующую формулу:
\[ S = \frac{r^2 \cdot \theta}{2} \]
где:
- \( S \) — площадь сектора,
- \( r \) — радиус окружности,
- \( \theta \) — угол в радианах.
Но в нашей задаче нам даны длина дуги сектора и угол в градусах. Давайте сначала найдем радиус \( r \) сектора.
Шаг 1: Находим радиус сектора
Мы знаем, что длина дуги сектора \( L \) связана с радиусом \( r \) и углом \( \theta \) (в радианах) по формуле:
\[ L = r \cdot \theta \]
Длина дуги сектора в нашей задаче равна \( 2\pi \), а угол \( \theta \) равен \( 60^\circ \). Сначала преобразуем угол из градусов в радианы:
\[ 60^\circ = \frac{60 \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{3} \text{ радиан} \]
Теперь подставим эти значения в уравнение для длины дуги:
\[ 2\pi = r \cdot \frac{\pi}{3} \]
Чтобы найти \( r \), умножим обе стороны уравнения на \( 3 \):
\[ 3 \cdot 2\pi = r \cdot \pi \]
Далее упростим:
\[ 6\pi = r \cdot \pi \]
Теперь разделим обе стороны на \( \pi \):
\[ r = 6 \]
Шаг 2: Находим площадь сектора
Теперь, имея значение радиуса \( r = 6 \), можем найти площадь \( S \):
\[ S = \frac{r^2 \cdot \theta}{2} \]
Подставим наши значения:
\[ S = \frac{6^2 \cdot \frac{\pi}{3}}{2} \]
Сначала вычислим \( 6^2 \):
\[ 6^2 = 36 \]
Теперь подставим это значение:
\[ S = \frac{36 \cdot \frac{\pi}{3}}{2} \]
Теперь умножим:
\[ S = \frac{36\pi/3}{2} = \frac{12\pi}{2} = 6\pi \]
Шаг 3: Записываем ответ, делённый на π
Теперь, согласно условиям задачи, мы должны записать площадь, делённую на \( \pi \):
\[ \frac{S}{\pi} = \frac{6\pi}{\pi} = 6 \]
Таким образом, ответ:
\[ \boxed{6} \]
