Чтобы найти площадь кругового сектора, нам нужно использовать следующую формулу:
[
S = \frac{r^2 \cdot \theta}{2}
]
где:
- ( S ) — площадь сектора,
- ( r ) — радиус окружности,
- ( \theta ) — угол в радианах.
Но в нашей задаче нам даны длина дуги сектора и угол в градусах. Давайте сначала найдем радиус ( r ) сектора.
Шаг 1: Находим радиус сектора
Мы знаем, что длина дуги сектора ( L ) связана с радиусом ( r ) и углом ( \theta ) (в радианах) по формуле:
[
L = r \cdot \theta
]
Длина дуги сектора в нашей задаче равна ( 2\pi ), а угол ( \theta ) равен ( 60^\circ ). Сначала преобразуем угол из градусов в радианы:
[
60^\circ = \frac{60 \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{3} \text{ радиан}
]
Теперь подставим эти значения в уравнение для длины дуги:
[
2\pi = r \cdot \frac{\pi}{3}
]
Чтобы найти ( r ), умножим обе стороны уравнения на ( 3 ):
[
3 \cdot 2\pi = r \cdot \pi
]
Далее упростим:
[
6\pi = r \cdot \pi
]
Теперь разделим обе стороны на ( \pi ):
[
r = 6
]
Шаг 2: Находим площадь сектора
Теперь, имея значение радиуса ( r = 6 ), можем найти площадь ( S ):
[
S = \frac{r^2 \cdot \theta}{2}
]
Подставим наши значения:
[
S = \frac{6^2 \cdot \frac{\pi}{3}}{2}
]
Сначала вычислим ( 6^2 ):
[
6^2 = 36
]
Теперь подставим это значение:
[
S = \frac{36 \cdot \frac{\pi}{3}}{2}
]
Теперь умножим:
[
S = \frac{36\pi/3}{2} = \frac{12\pi}{2} = 6\pi
]
Шаг 3: Записываем ответ, делённый на π
Теперь, согласно условиям задачи, мы должны записать площадь, делённую на ( \pi ):
[
\frac{S}{\pi} = \frac{6\pi}{\pi} = 6
]
Таким образом, ответ:
[
\boxed{6}
]
