Для решения задачи воспользуемся концепцией биномиального распределения, которое используется для моделирования вероятности количества успехов в фиксированном числе независимых испытаний. В данном случае причины "успеха" — это отказ узла.
Шаг 1: Определим параметры
- Количество узлов (испытаний) ( n = 10 )
- Вероятность отказа узла (успех) ( q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2 )
- Вероятность безотказной работы узла (неуспех) ( p = 0.8 )
- Количество узлов, которые выходят из строя (успехов) ( k = 4 )
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Вероятность того, что из ( n ) узлов ровно ( k ) из них откажут, рассчитывается по формуле биномиального распределения:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^{n-k} \cdot q^k
]
где:
- ( C(n, k) ) — это биномиальный коэффициент, который определяется как ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} )
- ( p ) — вероятность безотказной работы узла (0.8)
- ( q ) — вероятность отказа узла (0.2)
Шаг 3: Вычисление биномиального коэффициента
Рассчитаем биномиальный коэффициент:
[
C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!}
]
Подсчитываем факториалы:
- ( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! )
- ( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 )
- ( 6! = 720 )
Теперь подставим:
[
C(10, 4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210
]
Шаг 4: Подставляем значения в формулу
Теперь подставим все значения в формулу биномиального распределения:
[
P(X = 4) = C(10, 4) \cdot p^{n-4} \cdot q^4
]
[
P(X = 4) = 210 \cdot (0.8)^6 \cdot (0.2)^4
]
Сначала считаем ( (0.8)^6 ) и ( (0.2)^4 ):
- ( (0.8)^6 = 0.262144 )
- ( (0.2)^4 = 0.0016 )
Теперь подставим обратно в формулу:
[
P(X = 4) = 210 \cdot 0.262144 \cdot 0.0016
]
Шаг 5: Вычисляем итоговое значение
Теперь произведем все вычисления:
[
P(X = 4) = 210 \cdot 0.262144 \cdot 0.0016 \approx 0.08808
]
Ответ
Следовательно, вероятность того, что за время ( t ) откажут 4 узла, составляет примерно ( 0.08808 ) или ( 8.81% ).
