Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна р = 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность…

Для решения задачи воспользуемся концепцией биномиального распределения, которое используется для моделирования вероятности количества успехов в фиксированном числе независимых испытаний. В данном случае причины "успеха" — это отказ узла.

Шаг 1: Определим параметры

• Количество узлов (испытаний) \( n = 10 \)
• Вероятность отказа узла (успех) \( q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2 \)
• Вероятность безотказной работы узла (неуспех) \( p = 0.8 \)
• Количество узлов, которые выходят из строя (успехов) \( k = 4 \)

Шаг 2: Формула биномиального распределения

Вероятность того, что из \( n \) узлов ровно \( k \) из них откажут, рассчитывается по формуле биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^{n-k} \cdot q^k \]

где:

• \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который определяется как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
• \( p \) — вероятность безотказной работы узла (0.8)
• \( q \) — вероятность отказа узла (0.2)

Шаг 3: Вычисление биномиального коэффициента

Рассчитаем биномиальный коэффициент: \[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} \] Подсчитываем факториалы:

• \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! \)
• \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
• \( 6! = 720 \)

Теперь подставим: \[ C(10, 4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]

Шаг 4: Подставляем значения в формулу

Теперь подставим все значения в формулу биномиального распределения: \[ P(X = 4) = C(10, 4) \cdot p^{n-4} \cdot q^4 \] \[ P(X = 4) = 210 \cdot (0.8)^6 \cdot (0.2)^4 \]

Сначала считаем \( (0.8)^6 \) и \( (0.2)^4 \):

• \( (0.8)^6 = 0.262144 \)
• \( (0.2)^4 = 0.0016 \)

Теперь подставим обратно в формулу: \[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.262144 \cdot 0.0016 \]

Шаг 5: Вычисляем итоговое значение

Теперь произведем все вычисления: \[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.262144 \cdot 0.0016 \approx 0.08808 \]

Ответ

Следовательно, вероятность того, что за время \( t \) откажут 4 узла, составляет примерно \( 0.08808 \) или \( 8.81\% \).