Функция f(x) = x³ - 27x задана. Чтобы найти промежутки монотонности этой функции, нам нужно проанализировать производную этой функции.
Сначала найдем производную функции f(x). Для этого возьмем производную от каждого члена функции по отдельности. Производная от x³ равна 3x², а производная от 27x равна 27.
Сложим производные частей функции и получим производную f'(x) = 3x² - 27.
Теперь решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки функции.
3x² - 27 = 0
3x² = 27
x² = 9
x = ±3
Таким образом, у нас есть две критические точки x = -3 и x = 3.
Теперь проведем тестирование знаков в интервалах между критическими точками и за их пределами. Выберем тестовую точку в каждом интервале и подставим ее в производную f'(x).
Например, возьмем x = -4. Подставим его в f'(x):
f'(-4) = 3*(-4)² - 27 = 48, что положительно.
Теперь возьмем x = 0:
f'(0) = 3*0² - 27 = -27, что отрицательно.
И, наконец, x = 4:
f'(4) = 3*4² - 27 = 33, что снова положительно.
Итак, мы видим, что f(x) возрастает на интервалах (-бесконечность, -3) и (3, +бесконечность), а убывает на интервале (-3, 3).
Надеюсь, это объяснение поможет вам понять промежутки монотонности функции f(x) = x³ - 27x. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!
