Давайте решим задачу о вероятности того, что все выбранные для работы над листовками являются мальчиками. Мы будем использовать метод "неудачных событий".
Шаг 1: Определим данные
В группе волонтеров:
- Общее количество волонтеров: 50 человек
- Количество девочек: 15 человек
- Следовательно, количество мальчиков: ( 50 - 15 = 35 ) человек
Мы выбираем 4 человека. Нам нужно найти вероятность того, что все они мальчики.
Шаг 2: Найдем общее количество способов выбрать 4 человека
Общее количество способов выбрать 4 человека из 50 можно выразить через биномиальный коэффициент:
[
C(50, 4) = \frac{50!}{4!(50-4)!} = \frac{50 \times 49 \times 48 \times 47}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 230300
]
Шаг 3: Найдем количество способов выбрать 4 мальчиков
Теперь найдем количество способов выбрать 4 мальчиков из 35:
[
C(35, 4) = \frac{35!}{4!(35-4)!} = \frac{35 \times 34 \times 33 \times 32}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 52360
]
Шаг 4: Теперь найдем вероятность того, что все выбранные являются мальчиками
Вероятность того, что все выбранные 4 человека являются мальчиками, можно выразить как отношение количества благоприятных случаев к общему количеству случаев:
[
P(\text{все мальчики}) = \frac{C(35, 4)}{C(50, 4)} = \frac{52360}{230300}
]
Шаг 5: Упростим дробь
Теперь упростим эту дробь:
[
P(\text{все мальчики}) = \frac{52360}{230300} \approx 0.227
]
Шаг 6: Используем метод "неудавшихся событий"
Теперь определим вероятность того, что хотя бы один из выбранных является девочкой.
Сначала найдем вероятность того, что выбранный человек — не мальчик (т.е. девочка).
Вероятность того, что первый выбранный будет девочкой:
[
P_1(\text{первая девочка}) = \frac{15}{50} = \frac{3}{10}
]
Вероятность того, что хотя бы один из выбранных является девочкой, удобнее рассчитать через неудавшиеся события.
- Если выбираем 4 человека, вероятность того, что все 4 — мальчики, отличается от 0. Поскольку это событие противоположное, мы можем использовать:
[
P(\text{хотя бы одна девочка}) = 1 - P(\text{все мальчики}) = 1 - \frac{C(35, 4)}{C(50, 4)} \ \Rightarrow \
P(\text{хотя бы одна девочка}) = 1 - \frac{52360}{230300} = 1 - 0.227 \approx 0.773
]
Заключение
Таким образом, вероятность того, что все выбранные 4 человека являются мальчиками, составляет примерно 0.227 или 22.7%.
