Сообщить об ошибке В таблице дано распределение вероятностей случайной величины X X . Чему равны дисперсия D ( X ) D(X) и стандартное отклонение σ ( X ) σ(X) этой величины?
Давайте разберёмся с вычислением дисперсии и стандартного отклонения случайной величины \(X\) на примере распределения вероятностей.
Шаг 1: Понимание термина
Дисперсия (\(D(X)\)) — это мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания (среднего значения).
Стандартное отклонение (\(\sigma(X)\)) — это корень квадратный из дисперсии. Оно показывает, насколько сильно значения случайной величины отклоняются от среднего.
Шаг 2: Формулы
Математическое ожидание (\(E(X)\)):
\[ E(X) = \sum_{i} x_i P(X = x_i) \]
Здесь \(x_i\) — значения случайной величины, а \(P(X = x_i)\) — вероятности этих значений.
Дисперсия (\(D(X)\)):
\[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]
Чтобы найти \(E(X^2)\), используется формула:
\[ E(X^2) = \sum_{i} x_i^2 P(X = x_i) \]
Стандартное отклонение (\(\sigma(X)\)):
\[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} \]
Шаг 3: Пример решения
Допустим, у нас есть следующая таблица распределения вероятностей:
| \(x_i\) | \(P(X = x_i)\) |
|---|---|
| 1 | 0.2 |
| 2 | 0.5 |
| 3 | 0.3 |
Находим \(E(X)\):
\[ E(X) = 1 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.3 = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1 \]
Находим \(E(X^2)\):
\[ E(X^2) = 1^2 \cdot 0.2 + 2^2 \cdot 0.5 + 3^2 \cdot 0.3 = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9 \]
Теперь вычислим дисперсию \(D(X)\):
\[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 4.9 - (2.1)^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49 \]
Теперь найдём стандартное отклонение \(\sigma(X)\):
\[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0.49} = 0.7 \]
Ответ
Таким образом, для заданного распределения вероятностей дисперсия \(D(X) = 0.49\) и стандартное отклонение \(\sigma(X) = 0.7\).
Эти шаги помогут вам понять, как рассчитываются дисперсия и стандартное отклонение для случайной величины, основанные на её распределении вероятностей. Если у вас есть конкретные числа из таблицы, я смогу помочь вам с выбором и расчетами.
