Игрок бросает игральную кость до тех пор, пока не выпадет пятёрка. Найди вероятность того, что ему потребуется три или четыре броска.
Для решения данной задачи мы будем использовать правила вероятности. Игрок бросает кубик, пока не выпадет пятёрка.
Давайте разобьём задачу на несколько частей и найдем вероятность того, что игроку потребуется три или четыре броска для получения пятёрки.
Определим вероятность выпадения пятёрки:
На стандартной игральной кости шесть граней, и только одна из них – это пятёрка. Следовательно, вероятность того, что выпадет пятёрка в одном броске, равна:\[ P(5) = \frac{1}{6} \]
Соответственно, вероятность того, что пятёрка не выпадет (т.е. выпадет 1, 2, 3, 4 или 6), равна:
\[ P(\text{не 5}) = 1 - P(5) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \]
Вероятность, что пятёрка выпадет на третьем броске:
Чтобы пятёрка выпала на третьем броске, это должно произойти следующим образом: два первых броска должны быть не пятёркой, а на третьем броске мы должны получить пятёрку. Подсчитаем вероятность этого события:\[ P(\text{5 на 3-м броске}) = P(\text{не 5}) \times P(\text{не 5}) \times P(5) = P(\text{не 5})^2 \times P(5) \]
Подставляя значения:
\[ P(\text{5 на 3-м броске}) = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \times \frac{1}{6} = \frac{25}{36} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216} \]
Вероятность, что пятёрка выпадет на четвёртом броске:
Аналогично, чтобы пятёрка выпала на четвёртом броске, первые три броска должны быть не пятёркой, а на четвёртом броске должна выпасть пятёрка:\[ P(\text{5 на 4-м броске}) = P(\text{не 5})^3 \times P(5) = \left(\frac{5}{6}\right)^3 \times \frac{1}{6} \]
Применим значения:
\[ P(\text{5 на 4-м броске}) = \left(\frac{5}{6}\right)^3 \times \frac{1}{6} = \frac{125}{216} \times \frac{1}{6} = \frac{125}{1296} \]
Общая вероятность:
Теперь давайте сложим вероятности событий, где пятёрка выпадает на третьем или четвёртом броске:\[ P(\text{3 или 4 броска}) = P(\text{5 на 3-м}) + P(\text{5 на 4-м}) \]
Подставим найденные значения:
\[ P(\text{3 или 4 броска}) = \frac{25}{216} + \frac{125}{1296} \]
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 216 и 1296 – это 1296:
\[ \frac{25}{216} = \frac{25 \times 6}{216 \times 6} = \frac{150}{1296} \]
Сложим дроби:
\[ P(\text{3 или 4 броска}) = \frac{150}{1296} + \frac{125}{1296} = \frac{275}{1296} \]
Таким образом, вероятность того, что игроку потребуется три или четыре броска, чтобы получить пятёрку, составляет:
\[ \frac{275}{1296} \]
Это и будет искомым ответом.
