Y= (x²-2) (x²+4)

Давай разберёмся с данной задачей. У тебя есть функция \( y = (x^2 - 2)(x^2 + 4) \). ### Шаг 1: Раскроем скобки Для начала можно раскрыть данный многочлен: \[ y = (x^2 - 2)(x^2 + 4) \] Мы умножаем каждый член первого множителя на каждый член второго множителя: \[ y = x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot 4 - 2 \cdot x^2 - 2 \cdot 4 \] ### Шаг 2: Выполним умножение Теперь произведем умножение: \[ y = x^4 + 4x^2 - 2x^2 - 8 \] ### Шаг 3: Упрощение Теперь объединим подобные члены: \[ y = x^4 + (4x^2 - 2x^2) - 8 \] \[ y = x^4 + 2x^2 - 8 \] ### Шаг 4: Анализ функции Мы получили многочлен: \[ y = x^4 + 2x^2 - 8 \] #### Диагностика важной информации о функции: 1. **Степень**: Это многочлен четвёртой степени (наивысшая степень переменной \( x \)). 2. **График**: Как правило, график функции четвёртой степени имеет форму буквы «W» или «М», в зависимости от коэффициентов. Поскольку перед \( x^4 \) стоит положительный коэффициент, у него будет минимумы. 3. **Корни**: Чтобы найти корни функции, можно рассмотреть уравнение: \[ x^4 + 2x^2 - 8 = 0 \] Это уравнение можно решить методом замены (\( z = x^2 \)): \[ z^2 + 2z - 8 = 0 \] #### Решение квадратного уравнения: Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \] Теперь находим корни: \[ z_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{и} \quad \frac{-8}{2} = -4 \] Число \( z = x^2 \) может быть равным 2 (т.к. \( z = -4 \) не имеет вещественных корней). Таким образом: \[ x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{2} \] ### Шаг 5: Вывод Итак, мы пришли к функции \( y = x^4 + 2x^2 - 8 \), которая имеет два действительных корня, \( x = \sqrt{2} \) и \( x = -\sqrt{2} \). Это значит, что график функции пересекает ось \( x \) в этих точках. Если будут вопросы по какой-либо части решения, не стесняйся спрашивать!