y= (x²-2) (x²+4)
Давай разберёмся с данной задачей. У тебя есть функция \( y = (x^2 - 2)(x^2 + 4) \).
Шаг 1: Раскроем скобки
Для начала можно раскрыть данный многочлен:
\[ y = (x^2 - 2)(x^2 + 4) \]
Мы умножаем каждый член первого множителя на каждый член второго множителя:
\[ y = x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot 4 - 2 \cdot x^2 - 2 \cdot 4 \]
Шаг 2: Выполним умножение
Теперь произведем умножение:
\[ y = x^4 + 4x^2 - 2x^2 - 8 \]
Шаг 3: Упрощение
Теперь объединим подобные члены:
\[ y = x^4 + (4x^2 - 2x^2) - 8 \] \[ y = x^4 + 2x^2 - 8 \]
Шаг 4: Анализ функции
Мы получили многочлен:
\[ y = x^4 + 2x^2 - 8 \]
Диагностика важной информации о функции:
- Степень: Это многочлен четвёртой степени (наивысшая степень переменной \( x \)).
- График: Как правило, график функции четвёртой степени имеет форму буквы «W» или «М», в зависимости от коэффициентов. Поскольку перед \( x^4 \) стоит положительный коэффициент, у него будет минимумы.
- Корни: Чтобы найти корни функции, можно рассмотреть уравнение:
\[ x^4 + 2x^2 - 8 = 0 \]
Это уравнение можно решить методом замены (\( z = x^2 \)):
\[ z^2 + 2z - 8 = 0 \]
Решение квадратного уравнения:
Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]
Теперь находим корни:
\[ z_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{и} \quad \frac{-8}{2} = -4 \]
Число \( z = x^2 \) может быть равным 2 (т.к. \( z = -4 \) не имеет вещественных корней).
Таким образом:
\[ x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{2} \]
Шаг 5: Вывод
Итак, мы пришли к функции \( y = x^4 + 2x^2 - 8 \), которая имеет два действительных корня, \( x = \sqrt{2} \) и \( x = -\sqrt{2} \). Это значит, что график функции пересекает ось \( x \) в этих точках.
Если будут вопросы по какой-либо части решения, не стесняйся спрашивать!
