Давайте разберем задачу по шагам.
Понимание задачи
У нас есть прямоугольник, который мы вращаем вокруг одной из его сторон. Из условия нам известно, что диагональ прямоугольника равна 24, а одна из сторон образует угол 60 градусов с диагональю.
Шаг 1: Найдем стороны прямоугольника
Сначала давайте обозначим стороны прямоугольника:
- Пусть одна сторона — это ( a ) (базовая сторона),
- А другая сторона равная ( b ).
Существует соотношение для диагонали прямоугольника, которое можно выразить через его стороны:
[
d = \sqrt{a^2 + b^2}
]
где ( d ) — диагональ.
У нас уже есть информация, что ( d = 24 ):
[
\sqrt{a^2 + b^2} = 24
]
Возведем обе стороны в квадрат:
[
a^2 + b^2 = 576 \quad (1)
]
Шаг 2: Используем угол
Теперь используем угол 60 градусов, который одна из сторон образует с диагональю. По определению косинуса для прямоугольного треугольника, образованного диагональю и двумя сторонами, мы можем записать:
[
\cos(60^\circ) = \frac{a}{d}
]
Поскольку ( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ):
[
\frac{a}{24} = \frac{1}{2}
]
Отсюда:
[
a = 12 \quad (2)
]
Шаг 3: Находим другую сторону
Подставим ( a = 12 ) в уравнение (1):
[
12^2 + b^2 = 576
]
[
144 + b^2 = 576
]
Теперь выразим ( b^2 ):
[
b^2 = 576 - 144 = 432
]
Чтобы найти ( b ), извлечем корень:
[
b = \sqrt{432} = 12\sqrt{3} \quad (3)
]
Шаг 4: Площадь основания тела вращения
Когда мы вращаем прямоугольник вокруг одной из его сторон, получается цилиндр. Площадь основания полученного тела вращения (цилиндра) будет равна площади круга, радиусом равным другой стороне прямоугольника.
Площадь основания:
[
S = \pi r^2
]
где ( r = b = 12\sqrt{3} ):
[
S = \pi (12\sqrt{3})^2 = \pi \cdot 144 \cdot 3 = 432\pi
]
Шаг 5: Делим площадь на 1
Теперь, по условию, нам нужно найти площадь основания тела вращения, деленную на 1 (то есть, просто выражение остается без изменения):
[
\frac{S}{1} = 432\pi
]
Ответ:
Площадь основания полученного тела вращения равна ( 432\pi ).
