минимальное значение х^2+y^2, если х^2-y^2+6x+4y+5=0, равно ...
Давайте решим задачу, в которой нужно найти минимальное значение выражения \( z = x^2 + y^2 \) при условии, что \( x^2 - y^2 + 6x + 4y + 5 = 0 \).
Шаг 1: Преобразуем уравнение
Начнем с уравнения:
\[ x^2 - y^2 + 6x + 4y + 5 = 0 \]
Можем переписать его в более понятной форме, выделив полные квадраты.
- Начнем с части, содержащей \( x \):
\[ x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 \]
- Теперь займемся частью с \( y \):
\[ -y^2 + 4y = - (y^2 - 4y) = -((y - 2)^2 - 4) = - (y - 2)^2 + 4 \]
Теперь подставим обе части обратно в уравнение:
\[ (x + 3)^2 - 9 - (y - 2)^2 + 4 + 5 = 0 \]
Это упрощается до:
\[ (x + 3)^2 - (y - 2)^2 = 0 \]
Шаг 2: Упростим уравнение
Таким образом, у нас есть разность квадратов, которую можно разложить:
\[ (x + 3 - (y - 2))(x + 3 + (y - 2)) = 0 \]
Это дает два уравнения:
- \( x + 3 - (y - 2) = 0 \) или
- \( x + 3 + (y - 2) = 0 \)
Шаг 3: Решим каждое уравнение
Решим первое уравнение:
\[ x + 3 - y + 2 = 0 \implies y = x + 5 \]
Решим второе уравнение:
\[ x + 3 + y - 2 = 0 \implies y = -x - 1 \]
Теперь у нас есть две линии, по которым будут находиться точки \( (x, y) \).
Шаг 4: Найдем минимальное значение \( z = x^2 + y^2 \)
Для \( y = x + 5 \): \[ z = x^2 + (x + 5)^2 = x^2 + (x^2 + 10x + 25) = 2x^2 + 10x + 25 \]
Чтобы найти минимум, найдем производную и приравняем к нулю:
\[ \frac{dz}{dx} = 4x + 10 \] \[ 4x + 10 = 0 \implies x = -\frac{10}{4} = -2.5 \]
Теперь подставим \( x \) обратно, чтобы найти \( y \):
\[ y = -2.5 + 5 = 2.5 \]
Теперь подставим обратно в \( z \):
\[ z = (-2.5)^2 + (2.5)^2 = 6.25 + 6.25 = 12.5 \]
Для \( y = -x - 1 \): \[ z = x^2 + (-x - 1)^2 = x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 2x^2 + 2x + 1 \]
Аналогично найдем производную:
\[ \frac{dz}{dx} = 4x + 2 \] \[ 4x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{4} = -0.5 \]
Теперь подставим \( x \) обратно, чтобы найти \( y \):
\[ y = -(-0.5) - 1 = -0.5 \]
Теперь подставим обратно в \( z \):
\[ z = (-0.5)^2 + (-0.5)^2 = 0.25 + 0.25 = 0.5 \]
Шаг 5: Сравним значения
Мы нашли два значения для \( z \):
- Для первого случая: \( z = 12.5 \)
- Для второго случая: \( z = 0.5 \)
Таким образом, минимальное значение \( z = x^2 + y^2 \) равно 0.5.
Ответ
Минимальное значение \( x^2 + y^2 \) при данном уравнении равно \( 0.5 \).
