Минимальное значение х^2+y^2, если х^2-y^2+6x+4y+5=0, равно ...

Давайте решим задачу, в которой нужно найти минимальное значение выражения \( z = x^2 + y^2 \) при условии, что \( x^2 - y^2 + 6x + 4y + 5 = 0 \). ### Шаг 1: Преобразуем уравнение Начнем с уравнения: \[ x^2 - y^2 + 6x + 4y + 5 = 0 \] Можем переписать его в более понятной форме, выделив полные квадраты. 1. Начнем с части, содержащей \( x \): \[ x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 \] 2. Теперь займемся частью с \( y \): \[ -y^2 + 4y = - (y^2 - 4y) = -((y - 2)^2 - 4) = - (y - 2)^2 + 4 \] Теперь подставим обе части обратно в уравнение: \[ (x + 3)^2 - 9 - (y - 2)^2 + 4 + 5 = 0 \] Это упрощается до: \[ (x + 3)^2 - (y - 2)^2 = 0 \] ### Шаг 2: Упростим уравнение Таким образом, у нас есть разность квадратов, которую можно разложить: \[ (x + 3 - (y - 2))(x + 3 + (y - 2)) = 0 \] Это дает два уравнения: 1. \( x + 3 - (y - 2) = 0 \) или 2. \( x + 3 + (y - 2) = 0 \) ### Шаг 3: Решим каждое уравнение Решим первое уравнение: \[ x + 3 - y + 2 = 0 \implies y = x + 5 \] Решим второе уравнение: \[ x + 3 + y - 2 = 0 \implies y = -x - 1 \] Теперь у нас есть две линии, по которым будут находиться точки \( (x, y) \). ### Шаг 4: Найдем минимальное значение \( z = x^2 + y^2 \) 1. **Для \( y = x + 5 \)**: \[ z = x^2 + (x + 5)^2 = x^2 + (x^2 + 10x + 25) = 2x^2 + 10x + 25 \] Чтобы найти минимум, найдем производную и приравняем к нулю: \[ \frac{dz}{dx} = 4x + 10 \] \[ 4x + 10 = 0 \implies x = -\frac{10}{4} = -2.5 \] Теперь подставим \( x \) обратно, чтобы найти \( y \): \[ y = -2.5 + 5 = 2.5 \] Теперь подставим обратно в \( z \): \[ z = (-2.5)^2 + (2.5)^2 = 6.25 + 6.25 = 12.5 \] 2. **Для \( y = -x - 1 \)**: \[ z = x^2 + (-x - 1)^2 = x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 2x^2 + 2x + 1 \] Аналогично найдем производную: \[ \frac{dz}{dx} = 4x + 2 \] \[ 4x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{4} = -0.5 \] Теперь подставим \( x \) обратно, чтобы найти \( y \): \[ y = -(-0.5) - 1 = -0.5 \] Теперь подставим обратно в \( z \): \[ z = (-0.5)^2 + (-0.5)^2 = 0.25 + 0.25 = 0.5 \] ### Шаг 5: Сравним значения Мы нашли два значения для \( z \): - Для первого случая: \( z = 12.5 \) - Для второго случая: \( z = 0.5 \) Таким образом, минимальное значение \( z = x^2 + y^2 \) равно **0.5**. ### Ответ Минимальное значение \( x^2 + y^2 \) при данном уравнении равно \( 0.5 \).