Алиса испекла 40 40 печений, из них 10 10 штук она посыпала корицей, а 20 20 штук собирается посыпать сахаром (она может посыпать одно печенье и корицей, и сахаром, а может вообще…

Чтобы решить задачу, давайте рассмотрим, как Алиса распределяет свои 40 печений между разными покрытиями.

У нас есть следующие данные:

• Всего печений: 40
• Печений с корицей: 10
• Печений с сахаром: 20
• Печений, которые могут быть посыпаны и тем, и другим, или вовсе ничем.

Обозначения

• Печенья, посыпанные корицей: \( K = 10 \)
• Печенья, посыпанные сахаром: \( S = 20 \)
• Печенья, посыпанные обоими покрытиями: \( K \cap S \)
• Печенья, которые ничем не посыпаны: \( N \)

1. Найдётся 7 печений, которые ничем не посыпаны.

Чтобы узнать, сколько печений не имеют покрытия, необходимо использовать формулу включения-исключения:

\[ N = 40 - (K + S - (K \cap S)) \]

Таким образом, мы не можем точно утверждать, что \( N = 7 \), поскольку количество печений, посыпанных одновременно корицей и сахаром, может быть любого значения от 0 до 10 (но не больше 10, так как всего 10 печений с корицей).

• Если, например, 8 печений имеют оба покрытия, тогда: \[ N = 40 - (10 + 20 - 8) = 40 - 22 = 18 \]
• Если 0 печений имеют оба покрытия: \[ N = 40 - (10 + 20 - 0) = 40 - 30 = 10 \] Таким образом, 7 печений, которые ничем не посыпаны, не обязательно может быть, это неверное утверждение.

2. Найдётся 8 печений, посыпанных и сахаром, и корицей.

Предположим, что \( (K \cap S) = x \).

• Максимум \( K \) = 10, максимум \( S \) = 20, значит \( x \) может быть от 0 до 10
• Поэтому 8 печений, посыпанных и сахаром, и корицей, может быть верно, если \( x = 8 \). Это может быть верным утверждением.

3. Если печенье посыпано корицей, то оно посыпано и сахаром.

Это утверждение говорит о том, что все 10 печений, которые посыпаны корицей, также должны быть посыпаны сахаром. На самом деле это не обязательно, так как печенье может быть посыпано только корицей. Поэтому это неверное утверждение.

4. Не может оказаться 12 печений, посыпанных и сахаром, и корицей.

Если у нас 10 печений с корицей, то максимум печений, которые могут быть одновременно посыпаны и корицей, и сахаром, это 10. Значит, утверждение, что 12 печений может быть посыпано и сахаром, и корицей, неверно. Это верное утверждение.

Итоги:

1. Неверно, что найдётся 7 печений, которые ничем не посыпаны.
2. Может быть верно, что найдётся 8 печений, посыпанных и сахаром, и корицей.
3. Неверно, что если печенье посыпано корицей, то оно посыпано и сахаром.
4. Верно, что не может оказаться 12 печений, посыпанных и сахаром, и корицей.

Таким образом, верными являются только утверждения 2 и 4.