Однажды Король страны Арифметика искал себе достойного соперника по игре в шахматы. Сыграть с ним турнир вызвался обычный кузнец. Кузнец одержал победу над великим королем. Король…

Решим задачу о том, сколько рублей король должен был отдать кузнецу, выполняя его требования по ставкам на шахматной доске.

На шахматной доске 64 клетки. Кузнец просит класть деньги по следующему принципу: на первой клетке — 1 рубль, на второй клетке — 2 рубля, на третьей — 4 рубля и так далее. Обратите внимание, что каждое следующее количество рублей — это удвоение предыдущего. Это обозначается как степень двойки.

Пошаговое решение:

1. Определим формулу для n-й клетки:
   • На первой клетке: \( 1 = 2^0 \)
   • На второй клетке: \( 2 = 2^1 \)
   • На третьей клетке: \( 4 = 2^2 \)
   • На n-й клетке: \( 2^{(n-1)} \)

Таким образом, на клетке номер \( n \) будет класться \( 2^{(n-1)} \) рублей.

2. Вычислим общую сумму для всех 64 клеток: Мы хотим найти сумму всех рублей от 1-й до 64-й клетки: \[ S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{63} \]

3. Используем формулу суммы геометрической прогрессии: Сумма n первых членов геометрической прогрессии с первым членом \( a \) и знаменателем \( r \) определяется по формуле: \[ S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} \] В нашем случае, \( a = 1 \), \( r = 2 \), и \( n = 64 \). Подставив значения, получаем: \[ S = 1 \cdot \frac{2^{64} - 1}{2 - 1} = 2^{64} - 1 \]

4. Вычислим \( 2^{64} \): \( 2^{64} \) — это большое число. Приблизительное значение: \[ 2^{10} = 1024 \quad (это примерно 10^3) \implies 2^{20} \approx 10^6 \] \( 2^{64} \) можно оценить, используя приближение: \[ 2^{64} \approx 1.84 \times 10^{19} \] Поэтому \( 2^{64} - 1 \approx 1.84 \times 10^{19} - 1 \).

5. Подытожим: Значит, король должен был отдать кузнецу \( 2^{64} - 1 \) рублей, что составляет большую сумму, превышающую 18 квинтиллионов.

Таким образом, ответ на вопрос, сколько рублей король должен был выдать кузнецу, — это \( 2^{64} - 1 \) рублей.