Однажды Король страны Арифметика искал себе достойного соперника по игре в шахматы. Сыграть с ним турнир вызвался обычный кузнец. Кузнец одержал победу над великим королем. Король за победу пообещал дать кузнецу все, чего он попросит. Кузнец сказал: "На первую клетку шахматной доски, клади один рубль. На вторую два. На третью четыре. На пятую вдвое больше, и так далее до последней клетки включительно." Король рассмеялся над кузнецом, что он так мало просит, а как стал считать, стало не смешно. Сколько рублей король был должен выдать кузнецу?

Решим задачу о том, сколько рублей король должен был отдать кузнецу, выполняя его требования по ставкам на шахматной доске. На шахматной доске 64 клетки. Кузнец просит класть деньги по следующему принципу: на первой клетке — 1 рубль, на второй клетке — 2 рубля, на третьей — 4 рубля и так далее. Обратите внимание, что каждое следующее количество рублей — это удвоение предыдущего. Это обозначается как степень двойки. ### Пошаговое решение: 1. **Определим формулу для n-й клетки**: - На первой клетке: \( 1 = 2^0 \) - На второй клетке: \( 2 = 2^1 \) - На третьей клетке: \( 4 = 2^2 \) - На n-й клетке: \( 2^{(n-1)} \) Таким образом, на клетке номер \( n \) будет класться \( 2^{(n-1)} \) рублей. 2. **Вычислим общую сумму для всех 64 клеток**: Мы хотим найти сумму всех рублей от 1-й до 64-й клетки: \[ S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{63} \] 3. **Используем формулу суммы геометрической прогрессии**: Сумма n первых членов геометрической прогрессии с первым членом \( a \) и знаменателем \( r \) определяется по формуле: \[ S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} \] В нашем случае, \( a = 1 \), \( r = 2 \), и \( n = 64 \). Подставив значения, получаем: \[ S = 1 \cdot \frac{2^{64} - 1}{2 - 1} = 2^{64} - 1 \] 4. **Вычислим \( 2^{64} \)**: \( 2^{64} \) — это большое число. Приблизительное значение: \[ 2^{10} = 1024 \quad (это примерно 10^3) \implies 2^{20} \approx 10^6 \] \( 2^{64} \) можно оценить, используя приближение: \[ 2^{64} \approx 1.84 \times 10^{19} \] Поэтому \( 2^{64} - 1 \approx 1.84 \times 10^{19} - 1 \). 5. **Подытожим**: Значит, король должен был отдать кузнецу \( 2^{64} - 1 \) рублей, что составляет большую сумму, превышающую 18 квинтиллионов. Таким образом, ответ на вопрос, сколько рублей король должен был выдать кузнецу, — это \( 2^{64} - 1 \) рублей.