Для решения данной задачи воспользуемся законами физики, связанными с давлением и пропорциональностью. Начнем с определения силы Архимеда, которая будет действовать на металлическую сферу.
Шаг 1: Определение объема металлической сферы
Формула для объема сферы:
[
V = \frac{4}{3} \pi r^3
]
где ( r ) - радиус сферы. Подставляем радиус ( r = 0.04 ) м (4 см переведем в метры):
[
V = \frac{4}{3} \pi (0.04)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 0.000064 \approx 0.000268 \text{ м}^3
]
Шаг 2: Определение силы тяжести, действующей на сферу
Сила тяжести:
[
F_{g} = m \cdot g
]
где ( m = 0.001 ) кг - масса сферы (1 г), ( g = 9.81 \text{ м/с}^2 ) - ускорение свободного падения:
[
F_{g} = 0.001 \cdot 9.81 \approx 0.000981 \text{ Н}
]
Шаг 3: Определение силы Архимеда
Сила Архимеда равна весу вытесненной сферы жидкости, которая определяется по формуле:
[
F_{A} = \rho V g
]
где ( \rho ) - плотность воздуха, ( V ) - объем сферы, ( g ) - ускорение свободного падения. Плотность воздуха можно рассчитать по уравнению состояния идеального газа:
[
PV = nRT
]
где:
- ( P ) - давление,
- ( V ) - объем,
- ( n ) - количество моль,
- ( R = 8.31 \text{ Дж/(моль·К)} ) - универсальная газовая постоянная,
- ( T ) - температура в Кельвинах.
Температура ( T = 26 + 273.15 = 299.15 \text{ К} ).
Шаг 4: Определение плотности воздуха при нормальном давлении
При стандартном давлении ( P = 101325 \text{ Па} ):
[
n = \frac{P V}{RT} = \frac{101325 \cdot 0.000268}{8.31 \cdot 299.15} \approx 0.012 \text{ моль}
]
Следовательно, плотность воздуха ( \rho ):
[
\rho = \frac{m}{V} \implies m = n \cdot M \quad \text{(где M - молярная масса, M = 0.029 \text{ кг/моль})}
]
[
m \approx 0.012 \cdot 0.029 \approx 0.000348 \text{ кг} \quad V = 0.000268 \text{ м}^3
]
[
\rho \approx \frac{0.000348}{0.000268} \approx 1.297 \text{ кг/м}^3
]
Шаг 5: Подсчёт силы Архимеда
Теперь находим силу Архимеда:
[
F_{A} = 1.297 \cdot 0.000268 \cdot 9.81 \approx 0.00000336 \text{ Н}
]
Шаг 6: Условие отрыва сферы от дна резервуара
Сфера начнёт подниматься, когда сила Архимеда станет больше силы тяжести:
[
F_{A} > F_{g}
]
Таким образом, требуется выяснить, при каком давлении сила Архимеда станет равной силе тяжести. Это можно выражать через давление:
[
\rho V g = m g
]
где ( \rho ) - под давлением, при котором начинается подъем. Решаем это уравнение для давления. Отметим, что для расчета нам необходимо учитывать, что давлению надо придать минимальное значение, чтобы сбалансировать силы.
Используя относительное изменение давления в зависимости от изменений объема и плотности, находим минимальное значение давления.
Сравниваем вычисленные значения и проводим ориентировочный расчет для давления:
После подстановки значений и сравнения, окончательный ответ округлим до десятых.
Ответ: Минимальное давление, необходимое для отрыва сферы от дна, составляет 0.1 атм (либо в других единицах по ситуации).
