Решить

Для решения задачи определим вероятности и используем формулу вероятности для геометрического распределения.

Условие:

Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле составляет \( p = 0.2 \).

Задача:

Найти вероятность того, что стрелку потребуется не больше четырёх выстрелов. Это означает, что попадание произойдёт на 1-м, 2-м, 3-м или 4-м выстреле.

Решение:

Для нахождения вероятности, что попадание произойдёт не позже 4-го выстрела, нужно сложить вероятности того, что попадание произойдёт на каждом из первых четырёх выстрелов.

Формула геометрического распределения, описывающая вероятность попадания на \( n \)-м выстреле, имеет вид: \[ P(X = n) = (1-p)^{n-1} \times p \]

Где:

• \( p = 0.2 \) — вероятность успешного попадания,
• \( 1-p = 0.8 \) — вероятность промаха,
• \( n \) — номер выстрела, на котором произошло первое попадание.

Найдём вероятности для первых четырёх выстрелов:

1. Вероятность попадания на 1-м выстреле (\( n = 1 \)): \[ P(X = 1) = (0.8)^{0} \times 0.2 = 0.2 \]

2. Вероятность попадания на 2-м выстреле (\( n = 2 \)): \[ P(X = 2) = (0.8)^{1} \times 0.2 = 0.16 \]

3. Вероятность попадания на 3-м выстреле (\( n = 3 \)): \[ P(X = 3) = (0.8)^{2} \times 0.2 = 0.128 \]

4. Вероятность попадания на 4-м выстреле (\( n = 4 \)): \[ P(X = 4) = (0.8)^{3} \times 0.2 = 0.1024 \]

Теперь сложим эти вероятности, чтобы найти вероятность того, что попадание произойдёт не позже 4-го выстрела: \[ P(X \leq 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0.2 + 0.16 + 0.128 + 0.1024 = 0.5904 \]

Округлим ответ до сотых: \[ P(X \leq 4) \approx 0.59 \]

Таким образом, вероятность того, что стрелку потребуется не больше четырёх выстрелов для попадания, составляет 0.59.