реши

Для того чтобы решить задачу, где необходимо найти медиану из приведённого условия, сначала разберёмся, что нам известно:

• Имеется равнобедренный треугольник \( \triangle ABC \) с вершиной \( A \).
• \(\angle A = 120^\circ\).
• \( AC + AB = 18 \, \text{см} \).

Надо найти длину медианы \( AD \).

Шаг 1: Известные свойства треугольника

• В равнобедренном треугольнике с углом вершины \( \angle A = 120^\circ \) боковые стороны равны.
• Поскольку \( AC = AB \), каждый из них составляет половину \( AC + AB \), то есть \( AC = AB = 9 \, \text{см} \).

Шаг 2: Формула медианы

Для любой медианы в треугольнике можем использовать формулу: \[ m = \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}/2 \] где \( b \) и \( c \) — стороны исходящего из вершины медианы, а \( a \) — противоположная сторона.

Шаг 3: Применение формулы

Поскольку \( AC = AB = 9 \, \text{см} \), применим эту формулу:

• \( b = c = 9 \)
• Поскольку \( \angle A = 120^\circ \), то из треугольника это аналогично треугольнику, где \( a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(120^\circ)} \).

\[ a = \sqrt{9^2 + 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot (-\frac{1}{2})} \] \[ a = \sqrt{81 + 81 + 81} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3} \]

Мы нашли гипотенузу в треугольнике, противоположном углу \( \angle A \).

Шаг 4: Длина медианы \( AD \)

Теперь по формуле медианы: \[ m = \sqrt{2 \cdot 9^2 + 2 \cdot 9^2 - (9\sqrt{3})^2}/2 \] \[ m = \sqrt{2 \cdot 81 + 2 \cdot 81 - 81 \cdot 3}/2 \] \[ m = \sqrt{162 + 162 - 243}/2 \] \[ m = \sqrt{81}/2 = \frac{9}{2} = 4.5 \, \text{см} \]

Таким образом, медиана \( AD \) равна \( 4.5 \, \text{см} \).