Решить
Для решения задачи найдем значения оставшихся тригонометрических функций, зная значение \(\sin \alpha = -\frac{2}{5}\) и диапазон \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\). Этот диапазон означает, что угол \(\alpha\) находится в третьей четверти, где косинус и синус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.
Найдем \(\cos \alpha\):
Зная, что \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), подставим известное значение \(\sin \alpha\):
\[ \left(-\frac{2}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \]
\[ \frac{4}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \]
\[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25} \]
\[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{21}{25}} = -\frac{\sqrt{21}}{5} \]
Здесь \(\cos \alpha\) отрицателен, так как \(\alpha\) в третьей четверти.
Найдем \(\tan \alpha\):
\(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\):
\[ \tan \alpha = \frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{\sqrt{21}}{5}} = \frac{2}{\sqrt{21}} \]
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{21}\):
\[ \tan \alpha = \frac{2 \sqrt{21}}{21} \]
Найдем \(\cot \alpha\):
\(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}\):
\[ \cot \alpha = \frac{\sqrt{21}}{2} \]
Итак, мы нашли все требуемые значения:
- \(\cos \alpha = -\frac{\sqrt{21}}{5}\)
- \(\tan \alpha = \frac{2 \sqrt{21}}{21}\)
- \(\cot \alpha = \frac{\sqrt{21}}{2}\)
