Решить

Для решения задачи найдем значения оставшихся тригонометрических функций, зная значение \(\sin \alpha = -\frac{2}{5}\) и диапазон \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\). Этот диапазон означает, что угол \(\alpha\) находится в третьей четверти, где косинус и синус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны. 1. **Найдем \(\cos \alpha\):** Зная, что \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), подставим известное значение \(\sin \alpha\): \[ \left(-\frac{2}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{4}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25} \] \[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{21}{25}} = -\frac{\sqrt{21}}{5} \] Здесь \(\cos \alpha\) отрицателен, так как \(\alpha\) в третьей четверти. 2. **Найдем \(\tan \alpha\):** \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\): \[ \tan \alpha = \frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{\sqrt{21}}{5}} = \frac{2}{\sqrt{21}} \] Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{21}\): \[ \tan \alpha = \frac{2 \sqrt{21}}{21} \] 3. **Найдем \(\cot \alpha\):** \(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}\): \[ \cot \alpha = \frac{\sqrt{21}}{2} \] Итак, мы нашли все требуемые значения: - \(\cos \alpha = -\frac{\sqrt{21}}{5}\) - \(\tan \alpha = \frac{2 \sqrt{21}}{21}\) - \(\cot \alpha = \frac{\sqrt{21}}{2}\)