3. У двух братьев — Пети и Васи — общий ящик с носками. Носки Пети и Васи отличаются размером (все Петины носки одного размера, а все Васины — другого). В ящике 12 Петиных синих…

Для решения задачи, давайте сначала определим, что у нас есть:

• Всего носков Пети: 12 синих + 16 серых = 28 носков
• Всего носков Васи: 8 синих + 14 серых = 22 носка
• Общее количество носков: 28 + 22 = 50 носков

Теперь определим события:

• Событие \( A \): случайно вынутый носок серый.
• Событие \( B \): случайно вынутый носок — Петин.

Теперь мы можем найти вероятности различных событий.

1. Находим \( P(A) \):

Сначала найдем общее количество серых носков:

• Серые носки Пети: 16
• Серые носки Васи: 14
• Общее количество серых носков: \( 16 + 14 = 30 \)

Вероятность того, что вынутый носок серый, будет равна количеству серых носков делённому на общее количество носков:

\[ P(A) = \frac{\text{количество серых носков}}{\text{общее количество носков}} = \frac{30}{50} = 0.6 \]

2. Находим \( P(B) \):

Теперь найдем вероятность того, что вынутый носок — Петин:

\[ P(B) = \frac{\text{количество Петиных носков}}{\text{общее количество носков}} = \frac{28}{50} = 0.56 \]

3. Находим \( P(A \cap B) \):

Теперь определим \( P(A \cap B) \), что означает вероятность того, что носок серый и Петин:

Поскольку только некоторые носки Пети серые (16), вероятность того, что вынутый носок — серый и Петин:

\[ P(A \cap B) = \frac{\text{количество серых Петииных носков}}{\text{общее количество носков}} = \frac{16}{50} = 0.32 \]

4. Находим \( P(A \cup B) \):

Теперь вычислим \( P(A \cup B) \), что означает вероятность того, что носок либо серый, либо Петин. Мы можем использовать формулу для объединения событий:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Подставим найденные значения:

\[ P(A \cup B) = 0.6 + 0.56 - 0.32 = 0.84 \]

Ответ:

• \( P(A \cap B) = 0.32 \)
• \( P(A \cup B) = 0.84 \)

Таким образом, мы нашли вероятности для обоих событий.