За два месяца до отправления цена билетов на поезд однократно возрастает на 5%. Через еще 10 дней цена начинает ежедневно возрастать на 4% от цены предыдущего дня. Какова…
За два месяца до отправления цена билетов на поезд однократно возрастает на 5%. Через еще 10 дней цена начинает ежедневно возрастать на 4% от цены предыдущего дня. Какова изначальная стоимость билета, если при его покупке через 5 дней после начала ежедневного роста цены он стоил 8 500 руб.?
Для решения задачи начнем с обозначения изначальной стоимости билета как \( x \).
Увеличение на 5% за два месяца:
За два месяца цена билета возрастает на 5%. Новая цена билета будет: \[ P_1 = x + 0.05x = 1.05x \]Начало ежедневного роста цены:
Через 10 дней после повышения на 5% начинается ежедневный рост на 4%. Рассмотрим, сколько дней пройдет до момента, когда мы покупаем билет. Сначала 10 дней, затем 5 дней ежедневного роста, всего: \[ 10 + 5 = 15 \text{ дней} \]Рост цены на 4% каждый день:
После 10 дней цена повышается на 4% каждый день. Если цена на день 10 составляет \( P_1 = 1.05x \), то на 1-й день роста (11-й день от начала) она будет: \[ P_2 = P_1 + 0.04P_1 = P_1(1 + 0.04) = P_1 \times 1.04 = 1.05x \times 1.04 \]А на 2-й день роста (12-й день): \[ P_3 = P_2 \times 1.04 = 1.05x \times 1.04^2 \]
Продолжая в том же духе, на 5-й день роста (15-й день от начала): \[ P_6 = 1.05x \times 1.04^5 \]
Рассчитываем стоимость через 5 дней ежедневного роста:
Мы знаем, что в этот момент цена билета составляет 8500 рублей: \[ 1.05x \times 1.04^5 = 8500 \]Решаем уравнение для нахождения \( x \):
Сначала найдем значение \( 1.04^5 \): \[ 1.04^5 \approx 1.21665 \]Подставляем это значение в уравнение: \[ 1.05x \times 1.21665 = 8500 \] \[ x \times 1.21665 \times 1.05 = 8500 \] \[ x \times 1.2774975 \approx 8500 \] \[ x \approx \frac{8500}{1.2774975} \approx 6654.41 \, \text{руб.} \]
Таким образом, изначальная стоимость билета составляет примерно 6654.41 рубля.
