Чтобы найти координаты точек пересечения параболы и прямой, нужно решить систему уравнений:
У нас есть уравнение параболы:
[ y = 12x^2 ]
И уравнение прямой:
[ y = -9x + 30 ]
Теперь мы приравняем правые части этих уравнений:
[ 12x^2 = -9x + 30 ]
Теперь переставим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
[ 12x^2 + 9x - 30 = 0 ]
Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать формулу дискриминанта. Формула дискриминанта ( D ) для квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) выглядит так:
[ D = b^2 - 4ac ]
Где:
- ( a = 12 )
- ( b = 9 )
- ( c = -30 )
Теперь подставим значения в формулу:
[ D = 9^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-30) ]
[ D = 81 + 1440 ]
[ D = 1521 ]
Теперь, когда мы знаем, что дискриминант положителен, это означает, что у нас будет два различных решения.
Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:
[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]
Подставим наши значения:
[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{1521}}{2 \cdot 12} ]
[ x = \frac{-9 \pm 39}{24} ]
Теперь решим оба варианта:
Для ( x_1 ):
[ x_1 = \frac{-9 + 39}{24} = \frac{30}{24} = \frac{5}{4} ]
Для ( x_2 ):
[ x_2 = \frac{-9 - 39}{24} = \frac{-48}{24} = -2 ]
Теперь у нас есть ( x_1 = \frac{5}{4} ) и ( x_2 = -2 ).
Теперь найдем соответствующие ( y )-координаты для этих ( x )-значений, подставив их в одно из исходных уравнений, например, в уравнение прямой ( y = -9x + 30 ).
Для ( x_1 = \frac{5}{4} ):
[ y_1 = -9 \cdot \frac{5}{4} + 30 ]
[ y_1 = -\frac{45}{4} + 30 ]
[ y_1 = -\frac{45}{4} + \frac{120}{4} ]
[ y_1 = \frac{75}{4} ]
Для ( x_2 = -2 ):
[ y_2 = -9 \cdot (-2) + 30 ]
[ y_2 = 18 + 30 ]
[ y_2 = 48 ]
Теперь у нас есть две точки пересечения:
- Левая точка: ((-2, 48))
- Правая точка: (\left(\frac{5}{4}, \frac{75}{4}\right))
Таким образом, координаты точек пересечения параболы и прямой:
- Левая точка: ((-2, 48))
- Правая точка: (\left(\frac{5}{4}, \frac{75}{4}\right))
