Дана арифметическая прогрессия a 1 = 289 a 1 ​ =289 , d = − 18 d=−18 . Найди значение последнего положительного члена прогрессии.

Для решения задачи о нахождении последнего положительного члена арифметической прогрессии, давайте разберем прогрессию и используем формулы, связанные с ней.

Шаг 1: Понимание определения арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разность (называемая разностью прогрессии и обозначаемая \(d\)) между любыми двумя последовательными членами постоянна.

Обозначим первый член прогрессии как \(a_1\), второй член как \(a_2\), третий как \(a_3\) и так далее. Формула для \(n\)-го члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]

Где:

• \(a_n\) — это \(n\)-й член прогрессии,
• \(a_1\) — это первый член (в нашем случае \(a_1 = 289\)),
• \(d\) — это разность (в нашем случае \(d = -18\)),
• \(n\) — номер члена прогрессии.

Шаг 2: Подставляем известные значения

Подставим известные значения в формулу для \(n\)-го члена:

\[ a_n = 289 + (n - 1)(-18) \]

Шаг 3: Упрощение формулы

Упрощаем уравнение:

\[ a_n = 289 - 18(n - 1) \] \[ a_n = 289 - 18n + 18 \] \[ a_n = 307 - 18n \]

Шаг 4: Условия для положительного члена

Теперь нам нужно найти последнее положительное значение \(a_n\). Это значит, что

\[ 307 - 18n > 0 \]

Шаг 5: Решаем неравенство

Решим неравенство:

\[ 307 > 18n \] \[ \frac{307}{18} > n \] \[ n < 17.0555 \]

Так как \(n\) — это номер члена, он должен быть целым числом. Значит, максимальное целое значение \(n\) будет равно 17.

Шаг 6: Находим последний положительный член

Теперь подставим \(n = 17\) в формулу для нахождения \(a_n\):

\[ a_{17} = 307 - 18 \times 17 \] \[ a_{17} = 307 - 306 \] \[ a_{17} = 1 \]

Таким образом, последний положительный член арифметической прогрессии равен 1.

Итог

Итак, последний положительный член данной арифметической прогрессии, где \(a_1 = 289\) и \(d = -18\), — это 1.