Найди первый член геометрической прогрессии, если сумма первых пяти членов равна 78157815, а знаменатель равен q=−5q=−5.

Для решения задачи о нахождении первого члена геометрической прогрессии, когда известна сумма первых пяти членов и знаменатель, давайте начнем с формулы для суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии определяется по формуле:

\[ S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \]

где:

• \( S_n \) — сумма первых n членов,
• \( a_1 \) — первый член,
• \( q \) — знаменатель (первый член прогрессии умножается на знаменатель для каждого следующего члена),
• \( n \) — количество членов.

В нашей задаче:

• \( S_5 = 78157815 \) (сумма первых пяти членов),
• \( q = -5 \) (знаменатель),
• \( n = 5 \).

Подставляем известные значения в формулу:

\[ 78157815 = a_1 \frac{(-5)^5 - 1}{-5 - 1} \]

Теперь вычислим \( (-5)^5 \):

\[ (-5)^5 = -3125 \]

Теперь подставляем это значение в формулу:

\[ 78157815 = a_1 \frac{-3125 - 1}{-5 - 1} = a_1 \frac{-3126}{-6} \]

Теперь упрощаем дробь:

\[ \frac{-3126}{-6} = 521 \]

Подставляем это значение обратно в уравнение:

\[ 78157815 = a_1 \cdot 521 \]

Теперь находим \( a_1 \):

\[ a_1 = \frac{78157815}{521} \]

Выполним деление:

\[ a_1 \approx 150000 \]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии \( a_1 \) равен 150000.

Ответ: Первый член геометрической прогрессии \( a_1 = 150000 \).