Для решения задачи о нахождении первого члена геометрической прогрессии, когда известна сумма первых пяти членов и знаменатель, давайте начнем с формулы для суммы первых n членов геометрической прогрессии.
Сумма первых n членов геометрической прогрессии определяется по формуле:
[
S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}
]
где:
- ( S_n ) — сумма первых n членов,
- ( a_1 ) — первый член,
- ( q ) — знаменатель (первый член прогрессии умножается на знаменатель для каждого следующего члена),
- ( n ) — количество членов.
В нашей задаче:
- ( S_5 = 78157815 ) (сумма первых пяти членов),
- ( q = -5 ) (знаменатель),
- ( n = 5 ).
Подставляем известные значения в формулу:
[
78157815 = a_1 \frac{(-5)^5 - 1}{-5 - 1}
]
Теперь вычислим ( (-5)^5 ):
[
(-5)^5 = -3125
]
Теперь подставляем это значение в формулу:
[
78157815 = a_1 \frac{-3125 - 1}{-5 - 1} = a_1 \frac{-3126}{-6}
]
Теперь упрощаем дробь:
[
\frac{-3126}{-6} = 521
]
Подставляем это значение обратно в уравнение:
[
78157815 = a_1 \cdot 521
]
Теперь находим ( a_1 ):
[
a_1 = \frac{78157815}{521}
]
Выполним деление:
[
a_1 \approx 150000
]
Таким образом, первый член геометрической прогрессии ( a_1 ) равен 150000.
Ответ: Первый член геометрической прогрессии ( a_1 = 150000 ).
