На сколько процентов площадь круга, описанного около правильного шестиугольника, больше площади круга, вписанного в этот же шестиугольник?
Для решения задачи сначала определим площади кругов, описанного около и вписанного в правильный шестиугольник.
Шаг 1: Площадь круга, описанного около правильного шестиугольника
Обозначим длину стороны правильного шестиугольника как \( a \). Радиус круга, описанного около шестиугольника, равен длине стороны \( a \). Площадь этого круга рассчитывается по формуле:
\[ S_{out} = \pi R^2 \]
где \( R = a \). Значит,
\[ S_{out} = \pi a^2 \]
Шаг 2: Площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник
Радиус круга, вписанного в правильный шестиугольник, равен \( r = \frac{a \sqrt{3}}{2} \). Площадь этого круга также рассчитывается по формуле:
\[ S_{in} = \pi r^2 \]
Подставляя значение \( r \):
\[ S_{in} = \pi \left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{3a^2}{4} = \frac{3\pi a^2}{4} \]
Шаг 3: Сравнение площадей кругов
Теперь сравним площади \( S_{out} \) и \( S_{in} \):
\[ S_{out} = \pi a^2 \] \[ S_{in} = \frac{3\pi a^2}{4} \]
Теперь находим, на сколько процентов площадь \( S_{out} \) больше площади \( S_{in} \):
- Вычисляем разность площадей:
\[ \Delta S = S_{out} - S_{in} = \pi a^2 - \frac{3\pi a^2}{4} = \pi a^2 \left(1 - \frac{3}{4}\right) = \pi a^2 \cdot \frac{1}{4} \]
- Находим, на сколько процентов:
Чтобы найти процент, делим разность на \( S_{in} \) и умножаем на 100%:
\[ \text{Процент} = \left(\frac{\Delta S}{S_{in}}\right) \times 100\% = \left(\frac{\frac{\pi a^2}{4}}{\frac{3\pi a^2}{4}}\right) \times 100\% \]
Поскольку \( \frac{\pi a^2}{4} \) и \( \frac{3\pi a^2}{4} \) имеют одинаковый коэффициент \( \frac{\pi a^2}{4} \), они сократятся:
\[ \text{Процент} = \left(\frac{1}{3}\right) \times 100\% \approx 33.33\% \]
Ответ
На площадь круга, описанного около правильного шестиугольника, она больше площади круга, вписанного в этот же шестиугольник, на 33.33%.
