Для решения задачи сначала определим площади кругов, описанного около и вписанного в правильный шестиугольник.
Шаг 1: Площадь круга, описанного около правильного шестиугольника
Обозначим длину стороны правильного шестиугольника как ( a ). Радиус круга, описанного около шестиугольника, равен длине стороны ( a ). Площадь этого круга рассчитывается по формуле:
[
S_{out} = \pi R^2
]
где ( R = a ). Значит,
[
S_{out} = \pi a^2
]
Шаг 2: Площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник
Радиус круга, вписанного в правильный шестиугольник, равен ( r = \frac{a \sqrt{3}}{2} ). Площадь этого круга также рассчитывается по формуле:
[
S_{in} = \pi r^2
]
Подставляя значение ( r ):
[
S_{in} = \pi \left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{3a^2}{4} = \frac{3\pi a^2}{4}
]
Шаг 3: Сравнение площадей кругов
Теперь сравним площади ( S_{out} ) и ( S_{in} ):
[
S_{out} = \pi a^2
]
[
S_{in} = \frac{3\pi a^2}{4}
]
Теперь находим, на сколько процентов площадь ( S_{out} ) больше площади ( S_{in} ):
- Вычисляем разность площадей:
[
\Delta S = S_{out} - S_{in} = \pi a^2 - \frac{3\pi a^2}{4} = \pi a^2 \left(1 - \frac{3}{4}\right) = \pi a^2 \cdot \frac{1}{4}
]
- Находим, на сколько процентов:
Чтобы найти процент, делим разность на ( S_{in} ) и умножаем на 100%:
[
\text{Процент} = \left(\frac{\Delta S}{S_{in}}\right) \times 100% = \left(\frac{\frac{\pi a^2}{4}}{\frac{3\pi a^2}{4}}\right) \times 100%
]
Поскольку ( \frac{\pi a^2}{4} ) и ( \frac{3\pi a^2}{4} ) имеют одинаковый коэффициент ( \frac{\pi a^2}{4} ), они сократятся:
[
\text{Процент} = \left(\frac{1}{3}\right) \times 100% \approx 33.33%
]
Ответ
На площадь круга, описанного около правильного шестиугольника, она больше площади круга, вписанного в этот же шестиугольник, на 33.33%.
