{4x-y=1 {x-y=-4
Чтобы решить систему уравнений
\[ \begin{cases} 4x - y = 1 \quad (1) \\ x - y = -4 \quad (2) \end{cases} \]
мы будем использовать метод подстановки или метод исключения. В данном случае я объясню метод подстановки.
Шаг 1: Найдем выражение для \(y\) из второго уравнения
Из уравнения (2) можем выразить \(y\):
\[ x - y = -4 \]
Переписываем уравнение для \(y\):
\[ y = x + 4 \quad (3) \]
Шаг 2: Подставим найденное выражение в первое уравнение
Теперь подставим значение \(y\) из (3) в первое уравнение (1):
\[ 4x - (x + 4) = 1 \]
Шаг 3: Упростим уравнение
Раскроем скобки:
\[ 4x - x - 4 = 1 \]
Сложим подобные члены:
\[ 3x - 4 = 1 \]
Шаг 4: Найдем значение \(x\)
Теперь добавим 4 к обеим сторонам уравнения:
\[ 3x = 5 \]
Теперь разделим обе стороны на 3:
\[ x = \frac{5}{3} \]
Шаг 5: Найдем значение \(y\)
Теперь, когда мы нашли \(x\), подставим его обратно в уравнение (3) для нахождения \(y\):
\[ y = \frac{5}{3} + 4 \]
Представим 4 в виде дроби с общим знаменателем:
\[ y = \frac{5}{3} + \frac{12}{3} = \frac{17}{3} \]
Шаг 6: Запишем ответ
Мы нашли значения \(x\) и \(y\):
\[ x = \frac{5}{3}, \quad y = \frac{17}{3} \]
Проверка
Чтобы убедиться, что наше решение правильное, подставим \(x\) и \(y\) в оба уравнения:
- Для первого уравнения:
\[ 4 \cdot \frac{5}{3} - \frac{17}{3} = \frac{20}{3} - \frac{17}{3} = \frac{3}{3} = 1 \]
- Для второго уравнения:
\[ \frac{5}{3} - \frac{17}{3} = -\frac{12}{3} = -4 \]
Оба уравнения верны, следовательно, решение системы:
\[ \left( x, y \right) = \left( \frac{5}{3}, \frac{17}{3} \right) \]
Обсуждение
2 сообщенияа) 4 1; 4. x y x y б) 3 2 0; 7 8 8 7; 9 6 2 5. x y z x y z x y z
Решим обе системы уравнений.
a) Система уравнений:
\[ \begin{cases} 4x - y = -4 \quad (1) \\ x - y = -1 \quad (2) \end{cases} \]
Шаг 1: Найдем выражение для \(y\) из второго уравнения.
Из уравнения (2):
\[ x - y = -1 \]
Мы можем выразить \(y\):
\[ y = x + 1 \quad (3) \]
Шаг 2: Подставим (3) в (1).
Теперь подставим \(y\) в первое уравнение (1):
\[ 4x - (x + 1) = -4 \]
Раскроем скобки:
\[ 4x - x - 1 = -4 \]
Сложим подобные:
\[ 3x - 1 = -4 \]
Шаг 3: Найдем значение \(x\).
Добавим 1 к обеим сторонам:
\[ 3x = -3 \]
Разделим на 3:
\[ x = -1 \]
Шаг 4: Найдем значение \(y\).
Подставляем \(x\) в (3):
\[ y = -1 + 1 = 0 \]
Ответ для пункта а:
\[ (x, y) = (-1, 0) \]
б) Система уравнений:
\[ \begin{cases} 3x - 2y + z = 0 \quad (1) \\ 7x + 8y - 8z = 7 \quad (2) \\ 9x - 6y + 2z = 5 \quad (3) \end{cases} \]
Шаг 1: Преобразуем систему.
Решим эту систему методом подстановки или методом Гаусса. Начнем с первого уравнения (1):
\[ z = -3x + 2y \quad (4) \]
Теперь подставим (4) в (2) и (3).
Подставим (4) в (2):
\[ 7x + 8y - 8(-3x + 2y) = 7 \]
Раскроем скобки:
\[ 7x + 8y + 24x - 16y = 7 \]
Сложим подобные:
\[ 31x - 8y = 7 \quad (5) \]
Подставим (4) в (3):
\[ 9x - 6y + 2(-3x + 2y) = 5 \]
Раскроем скобки:
\[ 9x - 6y - 6x + 4y = 5 \]
Сложим подобные:
\[ 3x - 2y = 5 \quad (6) \]
Шаг 2: Решим новую систему (5) и (6):
Теперь у нас есть новая система:
\[ \begin{cases} 31x - 8y = 7 \\ 3x - 2y = 5 \end{cases} \]
Шаг 3: Умножим (6) на 4 и выразим \(y\):
\[ 12x - 8y = 20 \quad (7) \]
Теперь у нас есть:
\[ \begin{cases} 31x - 8y = 7 \\ 12x - 8y = 20 \end{cases} \]
Теперь можно вычесть (7) из (5):
\[ (31x - 8y) - (12x - 8y) = 7 - 20 \]
Упрощаем:
\[ 19x = -13 \]
Получаем:
\[ x = -\frac{13}{19} \]
Шаг 4: Найдем \(y\):
Подставляем \(x\) в (6):
\[ 3\left(-\frac{13}{19}\right) - 2y = 5 \]
Упрощаем:
\[ -\frac{39}{19} - 2y = 5 \]
Выразим \(y\):
\[ -2y = 5 + \frac{39}{19} \]
Запишем 5 в виде дроби с общим знаменателем:
\[ 5 = \frac{95}{19} \Rightarrow -2y = \frac{95 + 39}{19} = \frac{134}{19} \]
Следовательно,
\[ y = -\frac{67}{19} \]
Шаг 5: Найдем \(z\):
Теперь подставим \(x\) и \(y\) в (4):
\[ z = -3\left(-\frac{13}{19}\right) + 2\left(-\frac{67}{19}\right) \]
Упрощаем:
\[ z = \frac{39}{19} - \frac{134}{19} = -\frac{95}{19} \]
Итоговый ответ для пункта б:
\[ (x, y, z) = \left(-\frac{13}{19}, -\frac{67}{19}, -\frac{95}{19}\right) \]
Если необходимо провести проверку или уточнить что-то еще, дайте знать!
