Доля радиоактивных ядер распадется за время, равное 1/5 периода полураспада?

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся с понятиями, связанными с радиоактивным распадом и периодом полураспада. ### Определение: **Период полураспада** — это время, за которое распадается половина атомов радиоактивного вещества. ### Шаг 1: Обозначим переменные Пусть \( N_0 \) — начальное количество радиоактивных ядер. Через один период полураспада (обозначим его \( T_{1/2} \)) у нас останется \( \frac{N_0}{2} \) ядер. ### Шаг 2: Распад за время \( \frac{1}{5} T_{1/2} \) Теперь посмотрим на процесс распада, который происходит не за полный период полураспада, а за \( \frac{1}{5} \) этого времени. Мы знаем, что радиоактивный распад подчиняется экспоненциальному закону: \[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \] где \( \lambda \) — постоянная распада, а \( t \) — время. ### Шаг 3: Определение постоянной распада Период полураспада связан с постоянной распада следующим отношением: \[ T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \] Отсюда можем выразить \( \lambda \): \[ \lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} \] ### Шаг 4: Найдем количество ядер за \( \frac{1}{5} T_{1/2} \) Теперь мы можем подсчитать количество оставшихся ядер после времени \( t = \frac{1}{5} T_{1/2} \): \[ N\left(\frac{1}{5} T_{1/2}\right) = N_0 e^{-\lambda \cdot \frac{1}{5} T_{1/2}} \] Подставим выражение для \( \lambda \): \[ N\left(\frac{1}{5} T_{1/2}\right) = N_0 e^{-\frac{\ln(2)}{T_{1/2}} \cdot \frac{1}{5} T_{1/2}} \] Упрощая это, мы получаем: \[ N\left(\frac{1}{5} T_{1/2}\right) = N_0 e^{-\frac{1}{5} \ln(2)} = N_0 (2^{-\frac{1}{5}}) \] ### Шаг 5: Найдем долю распавшихся ядер Теперь мы можем найти долю распавшихся ядер. Количество распавшихся ядер равно: \[ N_{\text{распавшиеся}} = N_0 - N\left(\frac{1}{5} T_{1/2}\right) = N_0 - N_0 (2^{-\frac{1}{5}}) = N_0 \left(1 - 2^{-\frac{1}{5}}\right) \] ### Шаг 6: Доля распавшихся ядер Доля распавшихся ядер относительно начального количества ядер будет равна: \[ \text{Доля распавшихся} = \frac{N_{\text{распавшиеся}}}{N_0} = 1 - 2^{-\frac{1}{5}} \] ### Шаг 7: Численный расчет Теперь можем посчитать значение: \[ 2^{-\frac{1}{5}} \approx 0.868 \] Следовательно: \[ \text{Доля распавшихся} \approx 1 - 0.868 = 0.132 \] Таким образом, приблизительно **13.2%** ядер распадется за время, равное \( \frac{1}{5} \) периода полураспада.