доля радиоактивных ядер распадется за время, равное 1/5 периода полураспада?

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся с понятиями, связанными с радиоактивным распадом и периодом полураспада.

Определение:

Период полураспада — это время, за которое распадается половина атомов радиоактивного вещества.

Шаг 1: Обозначим переменные

Пусть \( N_0 \) — начальное количество радиоактивных ядер. Через один период полураспада (обозначим его \( T_{1/2} \)) у нас останется \( \frac{N_0}{2} \) ядер.

Шаг 2: Распад за время \( \frac{1}{5} T_{1/2} \)

Теперь посмотрим на процесс распада, который происходит не за полный период полураспада, а за \( \frac{1}{5} \) этого времени. Мы знаем, что радиоактивный распад подчиняется экспоненциальному закону:

\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]

где \( \lambda \) — постоянная распада, а \( t \) — время.

Шаг 3: Определение постоянной распада

Период полураспада связан с постоянной распада следующим отношением:

\[ T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \]

Отсюда можем выразить \( \lambda \):

\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} \]

Шаг 4: Найдем количество ядер за \( \frac{1}{5} T_{1/2} \)

Теперь мы можем подсчитать количество оставшихся ядер после времени \( t = \frac{1}{5} T_{1/2} \):

\[ N\left(\frac{1}{5} T_{1/2}\right) = N_0 e^{-\lambda \cdot \frac{1}{5} T_{1/2}} \]

Подставим выражение для \( \lambda \):

\[ N\left(\frac{1}{5} T_{1/2}\right) = N_0 e^{-\frac{\ln(2)}{T_{1/2}} \cdot \frac{1}{5} T_{1/2}} \]

Упрощая это, мы получаем:

\[ N\left(\frac{1}{5} T_{1/2}\right) = N_0 e^{-\frac{1}{5} \ln(2)} = N_0 (2^{-\frac{1}{5}}) \]

Шаг 5: Найдем долю распавшихся ядер

Теперь мы можем найти долю распавшихся ядер. Количество распавшихся ядер равно:

\[ N_{\text{распавшиеся}} = N_0 - N\left(\frac{1}{5} T_{1/2}\right) = N_0 - N_0 (2^{-\frac{1}{5}}) = N_0 \left(1 - 2^{-\frac{1}{5}}\right) \]

Шаг 6: Доля распавшихся ядер

Доля распавшихся ядер относительно начального количества ядер будет равна:

\[ \text{Доля распавшихся} = \frac{N_{\text{распавшиеся}}}{N_0} = 1 - 2^{-\frac{1}{5}} \]

Шаг 7: Численный расчет

Теперь можем посчитать значение:

\[ 2^{-\frac{1}{5}} \approx 0.868 \]

Следовательно:

\[ \text{Доля распавшихся} \approx 1 - 0.868 = 0.132 \]

Таким образом, приблизительно 13.2% ядер распадется за время, равное \( \frac{1}{5} \) периода полураспада.