Давайте решим задачу шаг за шагом.
Условия задачи:
- Дана диагональ прямоугольника, равная 10 см.
- Одна из сторон на 2 см больше другой.
Обозначим стороны прямоугольника как:
- ( x ) — меньшая сторона.
- ( x + 2 ) — большая сторона (на 2 см больше).
Шаг 1: Используем теорему Пифагора
Поскольку прямоугольник имеет прямые углы, можем использовать теорему Пифагора для нахождения отношений сторон и диагонали:
[
d^2 = a^2 + b^2
]
где ( d ) — длина диагонали, ( a ) и ( b ) — длины сторон. В нашем случае:
[
10^2 = x^2 + (x + 2)^2
]
Шаг 2: Подставим значения
Давайте подставим значения и упростим уравнение:
[
100 = x^2 + (x^2 + 4x + 4)
]
Скомбинируем все члены:
[
100 = 2x^2 + 4x + 4
]
Шаг 3: Переносим все в одну сторону
Для получения стандартного квадратного уравнения перенесем 100 в левую часть:
[
2x^2 + 4x + 4 - 100 = 0
]
Упростим:
[
2x^2 + 4x - 96 = 0
]
Шаг 4: Делим на 2
Упростим уравнение, разделив его на 2:
[
x^2 + 2x - 48 = 0
]
Шаг 5: Находим корни уравнения
Теперь используем дискриминант для нахождения корней:
[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196
]
Корни квадратного уравнения ищем по формуле:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим значения:
[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 14}{2}
]
Шаг 6: Находим значения
Теперь найдем два возможных значения ( x ):
- ( x = \frac{12}{2} = 6 )
- ( x = \frac{-16}{2} = -8 ) (это значение не подходит, так как длина не может быть отрицательной)
Следовательно, ( x = 6 ) см.
Шаг 7: Находим большую сторону
Теперь найдем большую сторону:
[
x + 2 = 6 + 2 = 8 \text{ см}
]
Ответ
Таким образом, стороны прямоугольника равны ( 6 ) см и ( 8 ) см.
