Диагональ прямоугольника 10 см., а одна из сторон на 2 см.больше другой. Найдите стороны прямоугольника
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Условия задачи:
- Дана диагональ прямоугольника, равная 10 см.
- Одна из сторон на 2 см больше другой.
Обозначим стороны прямоугольника как:
- \( x \) — меньшая сторона.
- \( x + 2 \) — большая сторона (на 2 см больше).
Шаг 1: Используем теорему Пифагора
Поскольку прямоугольник имеет прямые углы, можем использовать теорему Пифагора для нахождения отношений сторон и диагонали:
\[ d^2 = a^2 + b^2 \]
где \( d \) — длина диагонали, \( a \) и \( b \) — длины сторон. В нашем случае:
\[ 10^2 = x^2 + (x + 2)^2 \]
Шаг 2: Подставим значения
Давайте подставим значения и упростим уравнение:
\[ 100 = x^2 + (x^2 + 4x + 4) \]
Скомбинируем все члены:
\[ 100 = 2x^2 + 4x + 4 \]
Шаг 3: Переносим все в одну сторону
Для получения стандартного квадратного уравнения перенесем 100 в левую часть:
\[ 2x^2 + 4x + 4 - 100 = 0 \]
Упростим:
\[ 2x^2 + 4x - 96 = 0 \]
Шаг 4: Делим на 2
Упростим уравнение, разделив его на 2:
\[ x^2 + 2x - 48 = 0 \]
Шаг 5: Находим корни уравнения
Теперь используем дискриминант для нахождения корней:
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 \]
Корни квадратного уравнения ищем по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 14}{2} \]
Шаг 6: Находим значения
Теперь найдем два возможных значения \( x \):
- \( x = \frac{12}{2} = 6 \)
- \( x = \frac{-16}{2} = -8 \) (это значение не подходит, так как длина не может быть отрицательной)
Следовательно, \( x = 6 \) см.
Шаг 7: Находим большую сторону
Теперь найдем большую сторону:
\[ x + 2 = 6 + 2 = 8 \text{ см} \]
Ответ
Таким образом, стороны прямоугольника равны \( 6 \) см и \( 8 \) см.
