Никанор бросает симметричную монету 101 раз. Во сколько раз вероятность события «орёл выпадет ровно 84 ра-за» превосходит вероятность события «решка выпадет ровно 16 раз»?

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой биномиального распределения, так как мы имеем дело с независимыми испытаниями (бросками монеты) и двумя возможными исходами (орёл и решка).

Шаг 1: Определим вероятность одного исхода

При равновероятных результатах (симметричная монета) вероятность получения орла (или решки) в одном броске равна:

• \( p = \frac{1}{2} \)

Шаг 2: Формула биномиального распределения

Для нахождения вероятности получить k успехов (в нашем случае — орлов) из n испытаний используем формулу биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k! (n-k)!} \)
• \( p^k \) — вероятность успеха в k испытаниях
• \( (1 - p)^{n - k} \) — вероятность неуспеха в оставшихся (n - k) испытаниях

Шаг 3: Вероятность события «орёл выпадет ровно 84 раза»

Подставим наши значения:

• \( n = 101 \)
• \( k = 84 \)

Теперь найдем биномиальный коэффициент \( C(101, 84) \):

\[ C(101, 84) = C(101, 17) = \frac{101!}{84! \cdot 17!} \]

Теперь подставим это значение в формулу:

\[ P(\text{орёл и 84 раза}) = C(101, 84) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{84} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{17} = C(101, 84) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{101} \]

Шаг 4: Вероятность события «решка выпадет ровно 16 раз»

Для события «решка выпадет ровно 16 раз» мы знаем, что:

• \( n = 101 \)
• \( k = 16 \) (что означает, что орёл выпадет \( 101 - 16 = 85 \) раз)

Теперь находим биномиальный коэффициент \( C(101, 16) \):

\[ C(101, 16) = \frac{101!}{16! \cdot 85!} \]

Теперь подставим это значение в формулу:

\[ P(\text{решка и 16 раз}) = C(101, 16) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{16} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{85} = C(101, 16) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{101} \]

Шаг 5: Сравнение вероятностей

Теперь сравним оба события:

\[ \frac{P(\text{орёл и 84 раза})}{P(\text{решка и 16 раз})} = \frac{C(101, 84) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{101}}{C(101, 16) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{101}} = \frac{C(101, 84)}{C(101, 16)} \]

Шаг 6: Вычисление биномиальных коэффициентов

Обратите внимание, что \( C(101, 84) = C(101, 17) \), что мы использовали ранее:

\[ C(101, 16) = \frac{101!}{16! \cdot 85!} \]

Используя соотношение биномиальных коэффициентов:

\[ \frac{C(101, 84)}{C(101, 16)} = \frac{ \frac{101!}{84! \cdot 17!} }{ \frac{101!}{16! \cdot 85!} } = \frac{85! \cdot 16!}{84! \cdot 17!} = \frac{85 \cdot 84! \cdot 16!}{84! \cdot 17 \cdot 16!} = \frac{85}{17} = 5 \]

Ответ

Вероятность события «орёл выпадет ровно 84 раза» превосходит вероятность события «решка выпадет ровно 16 раз» в 5 раз.