Найди разность площадей правильного двенадцатиугольника, около которого описана окружность с радиусом 5, и правильного четырёхугольника, в который вписана окружность радиусом 4.
Давайте разберёмся с задачей, состоящей из нахождения разности площадей правильного двенадцатиугольника и правильного четырёхугольника.
Шаг 1: Площадь правильного двенадцатиугольника
Правильный двенадцатиугольник может быть описан около окружности. Площадь \( S \) правильного многоугольника с \( n \) сторонами и радиусом описанной окружности \( R \) можно вычислить по формуле:
\[ S = \frac{n \cdot R^2}{2} \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \]
Для нашего случая \( n = 12 \), \( R = 5 \):
Подставляем \( n \) и \( R \) в формулу: \[ S_{12} = \frac{12 \cdot 5^2}{2} \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{12}\right) \]
Вычисляем \( 5^2 = 25 \), тогда: \[ S_{12} = \frac{12 \cdot 25}{2} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \] \[ S_{12} = 150 \cdot \frac{1}{2} = 75 \]
Площадь правильного двенадцатиугольника равна 75.
Шаг 2: Площадь правильного четырёхугольника
Правильный четырёхугольник — это квадрат, в который вписана окружность радиусом 4. Связь между радиусом вписанной окружности \( r \) и стороной квадрата \( a \) выражается формулой:
\[ r = \frac{a}{2} \]
Отсюда можем выразить сторону квадрата: \[ a = 2r = 2 \cdot 4 = 8 \]
Теперь находим площадь квадрата: \[ S_{4} = a^2 = 8^2 = 64 \]
Шаг 3: Нахождение разности площадей
Теперь, зная площади правильного двенадцатиугольника и правильного четырёхугольника, найдём их разность:
\[ \Delta S = S_{12} - S_{4} = 75 - 64 = 11 \]
Ответ
Разность площадей правильного двенадцатиугольника и правильного четырёхугольника равна \( 11 \).
Таким образом, мы пришли к решению, следуя всем необходимым шагам и подробно объясняя каждый из них. Если есть вопросы или нужна дополнительная информация — не стесняйтесь спрашивать!
