Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один…
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в шесть раз. Например, имея кучу из 10 камней, за один ход можно получить кучу из 11 или 60 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче превышает 365. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 366 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 365. Говорят, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.
Чтобы решить задачу, давайте внимательно рассмотрим правила игры и возможные стратегии для Пети и Вани. Основная цель — выяснить, при каком начальном количестве камней в куче (S) Ваня сможет выиграть сразу после первого неудачного хода Пети.
Правила и возможные ходы
Игроки могут:
- Добавить 1 камень к текущему количеству.
- Увеличить количество камней в шесть раз.
Победа:
- Игра заканчивается, когда количество камней в куче превышает 365. Как только это происходит, игрок, сделавший последний ход, становится победителем.
Стратегия
Чтобы выявить минимальное значение \( S \), при котором Ваня выигрывает сразу после неудачного первого хода Пети, мы должны рассмотреть несколько сценариев.
Первый ход Пети:
- Петя начинает с количества \( S \) камней.
- Он может выбрать между \( S + 1 \) (добавить один камень) или \( 6S \) (умножить количество камней на шесть).
Ситуация, когда Ваня выигрывает своим первым ходом после неудачного хода Пети:
- Это означает, что Петя делает ход, который не позволяет ему выиграть, а Ване даёт возможность выиграть сразу после.
Анализ ходов
Пример 1: Петя добавляет 1 камень
- Если Петя ходит сначала, и его ход приводит к количеству камней \( S + 1 \):
- Ваня сможет выиграть только если \( S + 1 \) не превышает 365, и следующим своим ходом он сможет сделать \( S + 1 + 1 = S + 2 \) или \( 6(S + 1) \) > 365. Он мгновенно выигрывает, если после его хода количество камней > 365.
Пример 2: Петя умножает на шесть
- Если Петя выбирает второй вариант, то
- Если \( S \) таково, что \( 6S \leq 365 \), тогда результат будет также меньше или равен 365 и Ваня может также выиграть уже в своем первом ходе.
Подбор минимального S
- Для Вани, чтобы выиграть сразу же после ненужного первого хода Пети, давайте посмотрим на цифры:
- Если Петя играет с \( S = 61 \) (например):
- Петя добавляет 1 и получает 62.
- Ваня может умножить на 6 и получить 372 — таким образом, Ваня выигрывает.
- Если Петя играет с \( S = 61 \) (например):
Таким образом, есть возможность проанализировать, и мы видим, что при \( S = 61 \) Ваня выигрывает сразу после первого неудачного хода Пети.
Итог
Минимальное значение \( S \), при котором Ваня выигрывает сразу после неудачного первого хода Пети, — это \[ \boxed{61} \]
