В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AA1=10, AB=5, A1D1=10. Найдите длину диагонали DB1.
Чтобы найти длину диагонали \( DB_1 \) в прямоугольном параллелипеде \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), давайте сначала представим, как выглядит этот параллелипед и какие данные у нас есть.
Дано:
- \( AA_1 = 10 \) (высота параллелепипеда)
- \( AB = 5 \) (ширина параллелепипеда)
- \( A_1D_1 = 10 \) (длина параллелепипеда)
Сначала определим координаты всех вершин параллелепипеда. Пусть:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(5, 0, 0) \)
- \( C(5, 0, 10) \)
- \( D(0, 0, 10) \)
- \( A_1(0, 5, 0) \)
- \( B_1(5, 5, 0) \)
- \( C_1(5, 5, 10) \)
- \( D_1(0, 5, 10) \)
Теперь найдем координаты точек \( D \) и \( B_1 \):
- \( D(0, 0, 10) \)
- \( B_1(5, 5, 0) \)
Чтобы найти длину диагонали \( DB_1 \), используем формулу для расстояния между двумя точками в пространстве:
\[
DB_1 = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
\]
Подставим координаты точек \( D(0, 0, 10) \) и \( B_1(5, 5, 0) \):
\[
DB_1 = \sqrt{(5 - 0)^2 + (5 - 0)^2 + (0 - 10)^2}
\]
\[
= \sqrt{5^2 + 5^2 + (-10)^2}
\]
\[
= \sqrt{25 + 25 + 100}
\]
\[
= \sqrt{150}
\]
\[
= \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}
\]
Таким образом, длина диагонали \( DB_1 \) равна \( 5\sqrt{6} \).
