Какова вероятность получить 2 успешных результатов из 5 испытаний Бернулли если вероятность успеха равна 0.4
Для решения этой задачи используем формулу биномиального распределения, которая позволяет вычислить вероятность получения определенного числа успехов в сериях независимых испытаний, где каждое испытание имеет два результата (успех или неуспех).
Формула:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
Где:
- \( P(X = k) \) — вероятность того, что в \( n \) испытаниях будет ровно \( k \) успехов,
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который равен количеству способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний и вычисляется по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]
- \( p \) — вероятность успеха в одном испытании,
- \( n \) — общее количество испытаний,
- \( k \) — количество успешных результатов.
В вашем случае:
- \( p = 0.4 \) (вероятность успеха),
- \( n = 5 \) (общее количество испытаний),
- \( k = 2 \) (количество успешных результатов).
Теперь подставим все значения в формулу:
- Сначала расчитаем биномиальный коэффициент \( C(5, 2) \):
\[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5 - 2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]
- Теперь подставим всё в формулу вероятности:
\[ P(X = 2) = C(5, 2) \cdot 0.4^2 \cdot (1 - 0.4)^{5 - 2} \]
Теперь вычислим каждую часть:
- \( 0.4^2 = 0.16 \)
- \( 1 - 0.4 = 0.6 \)
- \( (0.6)^{3} = 0.216 \)
Теперь подставим эти значения:
\[ P(X = 2) = 10 \cdot 0.16 \cdot 0.216 \]
Выполним умножение:
\[ 10 \cdot 0.16 = 1.6 \]
\[ 1.6 \cdot 0.216 = 0.3456 \]
Таким образом, вероятность получения 2 успешных результатов из 5 испытаний при вероятности успеха 0.4 составляет примерно 0.3456 или 34.56%.
