Для решения этой задачи используем формулу биномиального распределения, которая позволяет вычислить вероятность получения определенного числа успехов в сериях независимых испытаний, где каждое испытание имеет два результата (успех или неуспех).
Формула:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
]
Где:
- ( P(X = k) ) — вероятность того, что в ( n ) испытаниях будет ровно ( k ) успехов,
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который равен количеству способов выбрать ( k ) успехов из ( n ) испытаний и вычисляется по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
]
- ( p ) — вероятность успеха в одном испытании,
- ( n ) — общее количество испытаний,
- ( k ) — количество успешных результатов.
В вашем случае:
- ( p = 0.4 ) (вероятность успеха),
- ( n = 5 ) (общее количество испытаний),
- ( k = 2 ) (количество успешных результатов).
Теперь подставим все значения в формулу:
- Сначала расчитаем биномиальный коэффициент ( C(5, 2) ):
[
C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5 - 2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10
]
- Теперь подставим всё в формулу вероятности:
[
P(X = 2) = C(5, 2) \cdot 0.4^2 \cdot (1 - 0.4)^{5 - 2}
]
Теперь вычислим каждую часть:
- ( 0.4^2 = 0.16 )
- ( 1 - 0.4 = 0.6 )
- ( (0.6)^{3} = 0.216 )
Теперь подставим эти значения:
[
P(X = 2) = 10 \cdot 0.16 \cdot 0.216
]
Выполним умножение:
[
10 \cdot 0.16 = 1.6
]
[
1.6 \cdot 0.216 = 0.3456
]
Таким образом, вероятность получения 2 успешных результатов из 5 испытаний при вероятности успеха 0.4 составляет примерно 0.3456 или 34.56%.
