Задача 1. Лодка проплыла от одной пристани до другой против течения реки за 4 часа. Обратный путь у неё занял 3 часа. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите собственную скорость…

Давайте решим каждую задачу по порядку.

Задача 1

Дано:

• Время в пути против течения: 4 часа
• Время в пути по течению: 3 часа
• Скорость течения реки: 2 км/ч
• Найти собственную скорость лодки (обозначим её V).

Решение:

1. Определяем скорости лодки:

   • При движении против течения: скорость лодки по воде (V) минус скорость течения (2 км/ч). Получаем скорость: \( V - 2 \).
   • При движении по течению: скорость лодки по воде (V) плюс скорость течения (2 км/ч). Получаем скорость: \( V + 2 \).

2. Запишем формулы для расстояния. Расстояние в обоих случаях одно и то же:

   • Для пути против течения: \[ S = (V - 2) \cdot 4 \]
   • Для пути по течению: \[ S = (V + 2) \cdot 3 \]

3. Приравняем два выражения для расстояния: \[ (V - 2) \cdot 4 = (V + 2) \cdot 3 \]

4. Раскроем скобки: \[ 4V - 8 = 3V + 6 \]

5. Переносим все переменные с одной стороны, а числа с другой: \[ 4V - 3V = 6 + 8 \] \[ V = 14 \]

Ответ: Собственная скорость лодки равна 14 км/ч.

Задача 2

Дано:

• Время в пути против течения: 4 часа
• Время в пути по течению: 3 часа
• Собственная скорость лодки: 7 км/ч
• Найти скорость течения (обозначим её C).

Решение:

1. Определяем скорости лодки:

   • Против течения: \( 7 - C \)
   • По течению: \( 7 + C \)

2. Запишем формулы для расстояния:

   • Против течения: \[ S = (7 - C) \cdot 4 \]
   • По течению: \[ S = (7 + C) \cdot 3 \]

3. Приравняем: \[ (7 - C) \cdot 4 = (7 + C) \cdot 3 \]

4. Раскроем скобки: \[ 28 - 4C = 21 + 3C \]

5. Переносим переменные: \[ 28 - 21 = 4C + 3C \] \[ 7 = 7C \] \[ C = 1 \]

Ответ: Скорость течения равна 1 км/ч.

Задача 3

Дано:

• Расстояние против течения: 135 км
• Время в пути: 10 ч
• Собственная скорость катера: 18 км/ч
• Найти время обратно.

Решение:

1. Определим скорость течения. Рассмотрим расстояние: \[ S = 135 \]

2. Запишем уравнение: \[ 135 = (18 - C) \cdot 10 \] где \( C \) - скорость течения.

   Находим \( C \): \[ 135 = 180 - 10C \] \[ 10C = 180 - 135 \] \[ 10C = 45 \implies C = 4.5 \text{ км/ч} \]

3. Теперь найдем время на обратный путь:

   • Скорость по течению: \( 18 + 4.5 = 22.5 \) км/ч.
   • Время: \[ t = \frac{S}{V} = \frac{135}{22.5} = 6 \text{ ч}. \]

Ответ: Время на обратный путь составит 6 часов.

Задача 4

Дано:

• Время вверх по реке: 7 ч
• Собственная скорость катера: 14 км/ч
• Скорость течения: 3.5 км/ч
• Найти время на обратный путь.

Решение:

1. Скорость против течения: \[ V_{\text{против}} = 14 - 3.5 = 10.5 \text{ км/ч} \]

2. Определяем расстояние: \[ S = V_{\text{против}} \cdot t = 10.5 \cdot 7 = 73.5 \text{ км} \]

3. Скорость по течению: \[ V_{\text{по}} = 14 + 3.5 = 17.5 \text{ км/ч} \]

4. Находим время на обратный путь: \[ t = \frac{S}{V_{\text{по}}} = \frac{73.5}{17.5} \approx 4.2 \text{ ч}. \]

Ответ: Время на обратный путь составит приблизительно 4.2 часа.