454

Давайте разберем решение задачи, где требуется вычислить \(\sqrt{4 \cdot 6 \cdot \sqrt{21}}\).

Шаг 1: Упростим подкоренное выражение.

У нас есть \(4 \cdot 6 \cdot \sqrt{21}\). Сначала умножим 4 и 6:

\[4 \cdot 6 = 24\]

Теперь запишем это как \(24 \cdot \sqrt{21}\).

Шаг 2: Применим свойства корней.

Свойство квадратного корня: \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\).

Применим это свойство к выражению \(\sqrt{24 \cdot \sqrt{21}}\):

\[\sqrt{24 \cdot \sqrt{21}} = \sqrt{24} \cdot \sqrt{\sqrt{21}}\]

Шаг 3: Упростим каждый из корней.

1. \(\sqrt{24}\): 24 можно разложить на множители:

\[24 = 4 \times 6 = 2^2 \times 6\]

Поэтому \(\sqrt{24} = \sqrt{2^2 \times 6} = 2\sqrt{6}\).

2. \(\sqrt{\sqrt{21}}\) может быть переписано как \(21^{1/4}\).

Шаг 4: Объединим все вместе.

Теперь у нас:

\[2\sqrt{6} \cdot \sqrt[4]{21}\]

Если требуется точное значение, то это выражение уже является упрощенным конечным ответом. Обычно в таких задачах более глубокая упрощенная форма не требуется.

Ответ: \(2\sqrt{6} \cdot \sqrt[4]{21}\)