Для решения этой задачи мы будем использовать свойства арифметической прогрессии. Давайте разберем условие и найдем ответ шаг за шагом.
Шаг 1: Понимание задачи
У нас есть занятия по йоге, которые начинаются с 15 минут в первый день и увеличиваются на 10 минут каждый следующий день. Мы хотим узнать, сколько дней нужно заниматься йогой, чтобы общая продолжительность занятий составила 2 часа.
Шаг 2: Преобразуем 2 часа в минуты
Сначала преобразуем 2 часа в минуты:
[
2 \text{ часа} = 2 \times 60 = 120 \text{ минут}
]
Шаг 3: Определим параметры прогрессии
В нашей задаче занятия по йоге образуют арифметическую прогрессию, где:
- Первый член прогрессии (время занятия в первый день): ( a_1 = 15 ) минут
- Разность прогрессии (увеличение времени каждого дня): ( d = 10 ) минут
Шаг 4: Найдем общее количество минут после ( n ) дней
Сумма первых ( n ) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
[
S_n = \frac{n}{2} \times (2a_1 + (n - 1)d)
]
Подставим известные значения:
[
S_n = \frac{n}{2} \times (2 \cdot 15 + (n - 1) \cdot 10)
]
Упрощаем это:
[
S_n = \frac{n}{2} \times (30 + 10n - 10) = \frac{n}{2} \times (10n + 20)
]
[
S_n = 5n(n + 2)
]
Шаг 5: Сравняем сумму с 120 минутами
Теперь нам нужно решить уравнение:
[
5n(n + 2) = 120
]
Упростим уравнение:
[
n(n + 2) = 24
]
[
n^2 + 2n - 24 = 0
]
Шаг 6: Factor the quadratic equation
Решим квадратное уравнение ( n^2 + 2n - 24 = 0 ) с помощью формулы для нахождения корней:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = -24 ):
[
n = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2}
]
[
n = \frac{-2 \pm 10}{2}
]
Теперь найдём два корня:
- ( n = \frac{8}{2} = 4 )
- ( n = \frac{-12}{2} = -6 ) (отрицательное значение не подходит)
Таким образом, ( n = 4 ).
Шаг 7: Ответ
Следовательно, необходимо заниматься йогой 4 дня, чтобы суммарная продолжительность занятий составила 2 часа (120 минут).
