Вычислите
Для вычисления \(\sin(\alpha - \beta)\), можно использовать формулу разности синусов:
\[ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \]
У нас даны условия для \(\cos\alpha\) и \(\sin\beta\):
- \(\cos\alpha = -\frac{4}{5}\)
- \(\sin\beta = -\frac{24}{25}\)
Найдем \(\sin\alpha\) и \(\cos\beta\).
Вычисление \(\sin\alpha\)
Мы знаем, что \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).
Подставим известное значение \(\cos\alpha\):
\[ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 \\ \sin^2 \alpha + \frac{16}{25} = 1 \\ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \\ \sin \alpha = \pm \frac{3}{5} \]
Так как \(-\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), \(\sin\alpha\) может быть отрицательным. Поскольку \(\alpha\) находится во второй или третьей четверти, где \(\cos\alpha < 0\), \(\sin\alpha < 0\), то \(\sin\alpha\) будет \(-\frac{3}{5}\).
Вычисление \(\cos\beta\)
Мы также знаем, что \(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\).
Подставим известное значение \(\sin\beta\):
\[ \left(-\frac{24}{25}\right)^2 + \cos^2 \beta = 1 \\ \frac{576}{625} + \cos^2 \beta = 1 \\ \cos^2 \beta = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625} \\ \cos \beta = \pm \frac{7}{25} \]
Так как \(\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi\) (четвертая четверть), где \(\sin\beta < 0\) и \(\cos\beta > 0\), то \(\cos\beta = \frac{7}{25}\).
Подставляем в формулу
Теперь можно подставить всё в формулу \(\sin(\alpha - \beta)\):
\[ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \\ = \left(-\frac{3}{5}\right) \left(\frac{7}{25}\right) - \left(-\frac{4}{5}\right) \left(-\frac{24}{25}\right) \\ = -\frac{21}{125} - \frac{96}{125} \\ = -\frac{117}{125} \]
Итак, результат вычисления \(\sin(\alpha - \beta)\) равен \(-\frac{117}{125}\).
