Ответы

Чтобы помочь вам с задачей, давайте разберём каждое задание пошагово.

Задание 1: Вычислите

a) \(10^3 + 10^2 \times 3\)

1. Сначала выполняем умножение: \(10^2 = 100\), и \(100 \times 3 = 300\).
2. Далее сложение: \(10^3 = 1000\), и \(1000 + 300 = 1300\).

Ответ: 1300

b) \(2\log_2 8 - \log_5 12\)

1. \(2\log_2 8 = \log_2 (8^2) = \log_2 64\). Поскольку \(8 = 2^3\), то \(64 = 2^6\).
2. Таким образом, \(\log_2 64 = 6\).
3. Подсчитываем \(\log_5 12\) или оставляем в виде \(\log_5 12\) для дальнейших вычислений.

Ответ на этот этап: \(6 - \log_5 12\)

Задание 2: Решите уравнения

a) \(\log_5 (2x - 1) = 0\)

1. Если \(\log_5 (2x - 1) = 0\), то \(2x - 1 = 5^0 = 1\).
2. Решаем \(2x - 1 = 1\): \(2x = 2\); \(x = 1\).

Ответ: \(x = 1\)

b) \(2\log_3 (x - 2) = \log_3 4\)

1. \(2\log_3 (x - 2) = \log_3 (x - 2)^2\).
2. Раз уравнение \(\log_3 (x - 2)^2 = \log_3 4\), значит \((x - 2)^2 = 4\).
3. Решаем квадратное уравнение: \(x - 2 = 2\) или \(x - 2 = -2\).
4. Получаем \(x = 4\) и \(x = 0\).

Ответ: \(x = 4\), \(x = 0\)

Задание 3: Преобразуйте выражение

a) \(\log_2 (4x^2 - x) - 2\log_2 (x - 5)\)

1. Используем свойство логарифмов: \(\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c}\).
2. \(\log_2 ((4x^2 - x)/(x - 5)^2)\).

Ответ: \(\log_2 ((4x^2 - x)/(x - 5)^2)\)

Задание 4: Решите систему

\[ \begin{cases} \log_3 (x - 2) + \log_3 2 = 1 \\ \log_2 (x + 2) + \log_2 10 = 3 \end{cases} \]

Решим каждое уравнение отдельно:

1. \(\log_3 (2(x - 2)) = 1\) значит \(2(x - 2) = 3^1 = 3\).

   Упрощаем: \(2(x - 2) = 3\); \(2x - 4 = 3\); \(2x = 7\); \(x = 3.5\).

2. \(\log_2 (10(x + 2)) = 3\) значит \(10(x + 2) = 2^3 = 8\).

   Упрощаем: \(10(x + 2) = 8\); \(10x + 20 = 8\); \(10x = -12\); \(x = -1.2\).

Система решений: \(x = 3.5\), \(x = -1.2\) (проверка и уточнение могут быть необходимы).

Задание 5: Найдите значения x, при которых функция принимает значения

Используя уравнение функции \(f(x) = x^3 - x^2 - x + 1\):

a) \(f(x) = 8\)

• Решаем уравнение \(x^3 - x^2 - x + 1 = 8\).

b) \(f(x) = 27\)

• Решаем уравнение \(x^3 - x^2 - x + 1 = 27\).

Здесь требуется применение некоторых корней и, возможно, метод проб и ошибок или кардинальное уравнение (точный метод зависит от уровня изучения).

Если будут нужны дополнительные разъяснения или помощь, пожалуйста, дайте знать!