равнобедренной трапеции основания равны 8 8 и 12 12 , один из углов между боковой стороной и основанием равен 4 5 ∘ 45 ∘ . Найди площадь трапеции.
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Дано:
- Равнобедренная трапеция с основаниями:
- Нижнее основание \( a = 12 \)
- Верхнее основание \( b = 8 \)
- Угол между боковой стороной и основанием: \( \alpha = 45^\circ \)
Цель:
Найти площадь трапеции.
Шаг 1: Определим высоту трапеции
В равнобедренной трапеции, если известен угол между боковой стороной и основанием, высоту можно найти с использованием тригонометрии. Рассмотрим один из треугольников, образованных высотой и боковой стороной трапеции.
- Высота \( h = x \sin(\alpha) \), где \( x \) — длина боковой стороны.
Чтобы найти боковую сторону, используем длину верхнего основания и угол \( \alpha \):
Найдем половину разности оснований, чтобы определить, насколько сдвигается боковая сторона: \[ \text{Половина разности оснований} = \frac{a - b}{2} = \frac{12 - 8}{2} = 2 \]
Теперь найдем длину боковой стороны \( x \) с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, где:
- одна катета равен высоте \( h \)
- другая катета равен половине разности оснований \( 2 \)
Согласно теореме Пифагора: \[ x^2 = h^2 + 2^2 \]
- Подставим высоту в уравнение: \[ h = 2 \tan(\alpha) \] Так как \( \tan(45^\circ) = 1 \), получаем: \[ h = 2 \cdot 1 = 2 \]
Шаг 2: Подставим значение в уравнение для боковой стороны
Теперь можем выразить боковую сторону \( x \): \[ x^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 \\ x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]
Шаг 3: Найдем полную высоту снова
Как уже определили: \[ h = 2 \]
Шаг 4: Найдем площадь трапеции
Формула для площади трапеции: \[ S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h \] Подставим известные значения: \[ S = \frac{(12 + 8)}{2} \cdot 2 = \frac{20}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2 = 20 \]
Ответ
Площадь равнобедренной трапеции равна \( 20 \) квадратных единиц.
