Миша рассчитал, что всего есть  455 вариантов выбрать  3 книги. Найди общее количество книг, из которых выбирал Миша.

Для решения данной задачи нам нужно воспользоваться формулой для сочетаний. В данном случае задача состоит в том, чтобы найти количество книг \( n \), из которых Миша выбирал 3 книги, если известно, что всего существует 455 вариантов выбора. Формула для сочетаний выглядит следующим образом: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где: - \( C(n, k) \) — это количество сочетаний \( n \) элементов по \( k \), - \( n \) — общее количество элементов (в нашем случае, книг), - \( k \) — количество выбираемых элементов (в нашем случае 3), - \( n! \) — факториал числа \( n \), который равен \( n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 1 \). В нашем случае \( k = 3 \), и нам известно, что \( C(n, 3) = 455 \). Подставим это в формулу: \[ C(n, 3) = \frac{n!}{3!(n-3)!} = 455 \] Сначала вычислим \( 3! \): \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \] Теперь подставим это значение в уравнение: \[ \frac{n!}{6(n-3)!} = 455 \] Умножим обе стороны уравнения на 6: \[ n! = 455 \times 6 \times (n-3)! \] Сначала найдем произведение \( 455 \times 6 \): \[ 455 \times 6 = 2730 \] Теперь у нас следующее уравнение: \[ n! = 2730 \times (n-3)! \] Заметим, что \( n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3)! \). Подставим это в уравнение: \[ n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3)! = 2730 \times (n-3)! \] Мы можем сократить \( (n-3)! \) с обеих сторон уравнения (при условии, что \( n \geq 3 \)): \[ n \times (n-1) \times (n-2) = 2730 \] Теперь нам нужно найти такое \( n \), чтобы левое выражение равно 2730. Давайте попробуем подставить значение \( n \): 1. Если \( n = 12 \): \[ 12 \times 11 \times 10 = 1320 \quad (\text{меньше 2730}) \] 2. Если \( n = 13 \): \[ 13 \times 12 \times 11 = 1716 \quad (\text{меньше 2730}) \] 3. Если \( n = 14 \): \[ 14 \times 13 \times 12 = 2184 \quad (\text{меньше 2730}) \] 4. Если \( n = 15 \): \[ 15 \times 14 \times 13 = 2730 \quad (\text{равно 2730}) \] Таким образом, общее количество книг, из которых выбирал Миша, равно \( n = 15 \). **Ответ:** 15 книг.