Для решения задачи о том, с какой наименьшей скоростью пассажир должен бегать, чтобы успеть сесть в первый вагон поезда, который начинает двигаться с постоянным ускорением, рассмотрим динамику движения обоих объектов: пассажира и поезда.
Обозначим:
- ( v_p ) — скорость, с которой бегает пассажир,
- ( a ) — ускорение поезда,
- ( l ) — длина поезда.
Поезд:
Поезд начинает двигаться с начальной скоростью 0 и ускорением ( a ). За время ( t ) его положение будет зависеть от формулы перемещения:
[ x_{train}(t) = \frac{1}{2} a t^2. ]
Пассажир:
Пассажир начинает от конца поезда и может бежать к первому вагону. Если он бежит с постоянной скоростью ( v_p ), то его положение будет:
[ x_{passenger}(t) = v_p t. ]
Пассажир должен достичь первого вагона до того, как он покинет заданное расстояние. Первым вагоном считается тот, который находится на расстоянии ( l ) от его начальной позиции, движущимся вперед. Мы можем установить уравнение для того, когда пассажир догонит поезд:
На момент, когда пассажир достигает первого вагона, его и поезда занимают одинаковую позицию:
[
v_p t = \frac{1}{2} a t^2 + l.
]
Упорядочим это уравнение:
[
\frac{1}{2} a t^2 - v_p t + l = 0.
]
Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно времени ( t ). По формуле дискриминанта, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным:
[
D = (-v_p)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} a \cdot l \geq 0.
]
Тогда:
[
v_p^2 \geq 2 a l.
]
Отсюда наименьшая скорость, необходимая пассажиру, чтобы успеть сесть в первый вагон:
[
v_p \geq \sqrt{2 a l}.
]
Таким образом, минимальная скорость, с которой пассажир должен бегать, составляет ( \sqrt{2 a l} ).
