Игральный кубик бросили два раза. Событие A A — «при втором броске выпало меньше очков», событие B B — «хотя бы раз выпало одно очко». Составь таблицу случайного эксперимента и…
Игральный кубик бросили два раза. Событие A A — «при втором броске выпало меньше очков», событие B B — «хотя бы раз выпало одно очко». Составь таблицу случайного эксперимента и найди P ( A ∩ B ) P(A∩B).
Давайте решим задачу шаг за шагом, чтобы понять, как составить таблицу для случайного эксперимента и найти вероятность совместного события \( P(A \cap B) \).
Шаг 1: Определим случайный эксперимент
В нашем случае мы бросаем игральный кубик дважды. Каждый бросок может дать одно из 6 возможных значений: \(1, 2, 3, 4, 5, 6\).
Шаг 2: Уточним события
- Событие \( A \) — «при втором броске выпало меньше очков». Это означает, что результат второго броска меньше, чем результат первого.
- Событие \( B \) — «хотя бы раз выпало одно очко». Это означает, что в любом из бросков (или в обоих) должно выпасть 1.
Шаг 3: Составим таблицу случайного эксперимента
Мы можем представить результаты двух бросков в виде таблицы, где строки будут представлять результаты первого броска, а столбцы — результаты второго броска.
| Первый бросок \ Второй бросок | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
Всего возможных исходов: \( 6 \times 6 = 36 \).
Шаг 4: Поиск \( P(A) \) и \( P(B) \)
- Рассмотрим событие \( A \) — мы ищем случаи, где второй бросок меньше первого:
- (2,1)
- (3,1), (3,2)
- (4,1), (4,2), (4,3)
- (5,1), (5,2), (5,3), (5,4)
- (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)
Итак, количество благоприятных исходов для события \( A \): \( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \).
- Теперь найдем событие \( B \) - хотя бы раз выпадение одной единицы. Это случаи:
- Все исходы с 1 в первом или втором броске: 11 случаев (перечислим подробнее, если необходимо).
Но проще при помощи преобразования:
- Все возможные исходы равны \( 36 \), а для \( \neg B \) (в обоих бросках не было единицы) находим 25 случаев (2,2), (2,3), (2,4), ..., (6,6).
Поэтому, количество благоприятных исходов для события \( B \): \( 36 - 25 = 11 \).
Шаг 5: Теперь проверим \( A \cap B \)
Мы ищем исходы, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно:
- Пары, где второй бросок меньше первого и хотя бы в одном из бросков есть 1. Это:
- (2,1)
- (3,1)
- (4,1)
- (5,1)
- (6,1)
Значит, количество благоприятных случаев для \( A \cap B \) также равно 5.
Шаг 6: Нахождение вероятности \( P(A \cap B) \)
Вероятность совместного события:
\[ P(A \cap B) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов для } A \cap B}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{5}{36} \]
Итог
Вероятность \( P(A \cap B) = \frac{5}{36} \).
