Реши

Чтобы решить задачу, давайте рассмотрим предоставленные функции и выясним, когда прямая \( y = m \) будет иметь с графиком ровно две общие точки.

У нас есть кусочная функция:

\[ y = \begin{cases} -x^2 + 2x + 1, & x \leq 2 \\ -x + 2, & x > 2 \end{cases} \]

Проанализируем каждую часть функции:

1. Часть \( -x^2 + 2x + 1 \), где \( x \leq 2 \)

Это квадратичная функция, которая является параболой, открывающейся вниз. Найдём её вершину:

Формула для \( x \)-координаты вершины параболы: \[ x = -\frac{b}{2a} \] где \( a = -1 \), \( b = 2 \).

Подставим значения: \[ x = -\frac{2}{2(-1)} = 1 \]

Найдём \( y \)-координату вершины, подставив \( x = 1 \) в функцию: \[ y = -(1)^2 + 2 \times 1 + 1 = 2 \]

Вершина параболы: \( (1, 2) \).

Точка пересечения с осью \( y \) (когда \( x = 0 \)): \[ y = -(0)^2 + 2 \times 0 + 1 = 1 \]

Теперь найдём значения \( y \), когда \( x = 2 \): \[ y = -(2)^2 + 2 \times 2 + 1 = 1 \]

2. Часть \(-x + 2\), где \( x > 2 \)

Это линейная функция, убывающая прямая. Начальная точка в \( x = 2 \) (по значению функции): \[ y = -2 + 2 = 0 \]

Общий анализ

Теперь ищем \( m \), чтобы прямая \( y = m \) пересекала график ровно в двух точках:

• С частью параболы: Прямая будет касаться параболы в одной или двух точках. Из вершины \( y = 2 \) и ограничений в пределах \( x \leq 2 \), значения \( y \) изменяются от 0 до 2. Получаем, что \( m = 0 \) даст касание с частью параболы, но также эта прямая будет пересекать линию \( y = -x + 2 \).

• С линейной частью: \( y > 0 \), чтобы пересечь в \( x > 2 \) ровно в одной точке.

В итоге, \( m = 0 \) даёт две точки пересечения: одна с параболой в \( x = 0 \) или в (1) и другая с линией в какой-то точке \( x > 2 \).

Ответ

Прямая \( y = m \) пересекается с графиком функции в двух точках, если \( m = 0 \). Но по условию в явном виде указаны варианты, когда \( m \) попадет в интервал.

2. [1; 2)

Поэтому, правильный ответ — 2.