Реши

Чтобы решить задачу, давайте рассмотрим предоставленные функции и выясним, когда прямая \( y = m \) будет иметь с графиком ровно две общие точки. У нас есть кусочная функция: \[ y = \begin{cases} -x^2 + 2x + 1, & x \leq 2 \\ -x + 2, & x > 2 \end{cases} \] Проанализируем каждую часть функции: ### 1. Часть \( -x^2 + 2x + 1 \), где \( x \leq 2 \) Это квадратичная функция, которая является параболой, открывающейся вниз. Найдём её вершину: Формула для \( x \)-координаты вершины параболы: \[ x = -\frac{b}{2a} \] где \( a = -1 \), \( b = 2 \). Подставим значения: \[ x = -\frac{2}{2(-1)} = 1 \] Найдём \( y \)-координату вершины, подставив \( x = 1 \) в функцию: \[ y = -(1)^2 + 2 \times 1 + 1 = 2 \] Вершина параболы: \( (1, 2) \). Точка пересечения с осью \( y \) (когда \( x = 0 \)): \[ y = -(0)^2 + 2 \times 0 + 1 = 1 \] Теперь найдём значения \( y \), когда \( x = 2 \): \[ y = -(2)^2 + 2 \times 2 + 1 = 1 \] ### 2. Часть \(-x + 2\), где \( x > 2 \) Это линейная функция, убывающая прямая. Начальная точка в \( x = 2 \) (по значению функции): \[ y = -2 + 2 = 0 \] ### Общий анализ Теперь ищем \( m \), чтобы прямая \( y = m \) пересекала график ровно в двух точках: - **С частью параболы**: Прямая будет касаться параболы в одной или двух точках. Из вершины \( y = 2 \) и ограничений в пределах \( x \leq 2 \), значения \( y \) изменяются от 0 до 2. Получаем, что \( m = 0 \) даст касание с частью параболы, но также эта прямая будет пересекать линию \( y = -x + 2 \). - **С линейной частью**: \( y > 0 \), чтобы пересечь в \( x > 2 \) ровно в одной точке. В итоге, \( m = 0 \) даёт две точки пересечения: одна с параболой в \( x = 0 \) или в (1) и другая с линией в какой-то точке \( x > 2 \). ### Ответ Прямая \( y = m \) пересекается с графиком функции в двух точках, если \( m = 0 \). Но по условию в явном виде указаны варианты, когда \( m \) попадет в интервал. 2) [1; 2) Поэтому, правильный ответ — 2.