S(5x^3+2x+3^x)dx

Для решения интеграла \( S(5x^3 + 2x + 3^x) \, dx \) давайте разобьем его на простые части и решим поочередно. ### Шаг 1: Разделение интеграла Интеграл можно разбить на три отдельных интеграла: \[ S(5x^3 + 2x + 3^x) \, dx = S(5x^3) \, dx + S(2x) \, dx + S(3^x) \, dx \] ### Шаг 2: Интегрирование каждой части 1. **Интеграл \( S(5x^3) \, dx \)**: Используем правило интегрирования степенной функции: \[ S(x^n) \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] Здесь \( n = 3 \): \[ S(5x^3) \, dx = 5 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 5 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{5}{4} x^4 \] 2. **Интеграл \( S(2x) \, dx \)**: По тому же правилу: \[ S(2x) \, dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \] 3. **Интеграл \( S(3^x) \, dx \)**: Для интегрирования экспоненциальной функции существует отдельная формула: \[ S(a^x) \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C \] Здесь \( a = 3 \): \[ S(3^x) \, dx = \frac{3^x}{\ln(3)} \] ### Шаг 3: Суммирование всех частей Теперь мы можем сложить все три результата интегрирования: \[ S(5x^3 + 2x + 3^x) \, dx = \frac{5}{4} x^4 + x^2 + \frac{3^x}{\ln(3)} + C \] ### Итог Итак, окончательный результат интеграла: \[ \int (5x^3 + 2x + 3^x) \, dx = \frac{5}{4} x^4 + x^2 + \frac{3^x}{\ln(3)} + C \] где \( C \) — произвольная константа интегрирования.