S(5x^3+2x+3^x)dx
Для решения интеграла \( S(5x^3 + 2x + 3^x) \, dx \) давайте разобьем его на простые части и решим поочередно.
Шаг 1: Разделение интеграла
Интеграл можно разбить на три отдельных интеграла: \[ S(5x^3 + 2x + 3^x) \, dx = S(5x^3) \, dx + S(2x) \, dx + S(3^x) \, dx \]
Шаг 2: Интегрирование каждой части
Интеграл \( S(5x^3) \, dx \):
Используем правило интегрирования степенной функции: \[ S(x^n) \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] Здесь \( n = 3 \): \[ S(5x^3) \, dx = 5 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 5 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{5}{4} x^4 \]
Интеграл \( S(2x) \, dx \):
По тому же правилу: \[ S(2x) \, dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \]
Интеграл \( S(3^x) \, dx \):
Для интегрирования экспоненциальной функции существует отдельная формула: \[ S(a^x) \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C \] Здесь \( a = 3 \): \[ S(3^x) \, dx = \frac{3^x}{\ln(3)} \]
Шаг 3: Суммирование всех частей
Теперь мы можем сложить все три результата интегрирования: \[ S(5x^3 + 2x + 3^x) \, dx = \frac{5}{4} x^4 + x^2 + \frac{3^x}{\ln(3)} + C \]
Итог
Итак, окончательный результат интеграла: \[ \int (5x^3 + 2x + 3^x) \, dx = \frac{5}{4} x^4 + x^2 + \frac{3^x}{\ln(3)} + C \] где \( C \) — произвольная константа интегрирования.
Обсуждение
2 сообщенияS(2sinx-3/x-e^1/2x-1)dx
Для нахождения интеграла
\[ S(2 \sin x - \frac{3}{x} - e^{\frac{1}{2}x} - 1) \, dx \]
разделим его на отдельные интегралы:
\[ S(2 \sin x) \, dx - S\left(\frac{3}{x}\right) \, dx - S(e^{\frac{1}{2}x}) \, dx - S(1) \, dx \]
Теперь давайте вычислим каждый из них по отдельности.
1. Интеграл \( S(2 \sin x) \, dx \)
Используем стандартный интеграл функции sin: \[ S(2 \sin x) \, dx = -2 \cos x + C_1 \]
2. Интеграл \( S\left(-\frac{3}{x}\right) \, dx \)
Используем известный интеграл: \[ S\left(-\frac{3}{x}\right) \, dx = -3 \ln |x| + C_2 \]
3. Интеграл \( S(e^{\frac{1}{2}x}) \, dx \)
Для этой экспоненты используем формулу: \[ S(e^{kx}) \, dx = \frac{1}{k} e^{kx} + C \] где \( k = \frac{1}{2} \): \[ S(e^{\frac{1}{2}x}) \, dx = 2 e^{\frac{1}{2}x} + C_3 \]
4. Интеграл \( S(1) \, dx \)
Это просто: \[ S(1) \, dx = x + C_4 \]
Объединение результатов
Теперь мы можем объединить все части:
\[ \int (2 \sin x - \frac{3}{x} - e^{\frac{1}{2}x} - 1) \, dx = -2 \cos x - 3 \ln |x| - 2 e^{\frac{1}{2}x} - x + C \]
где \( C \) — произвольная константа.
Итог
Таким образом, окончательный результат интеграла:
\[ \int (2 \sin x - \frac{3}{x} - e^{\frac{1}{2}x} - 1) \, dx = -2 \cos x - 3 \ln |x| - 2 e^{\frac{1}{2}x} - x + C \]
