Вероятность поражения цели равна 0,7. Определи вероятность, что при 10 попытках цель будет поражена не менее 4, но не более 5 раз.

Для решения задачи о вероятности поражения цели мы можем использовать биномиальное распределение. Давайте пошагово разберем, как это сделать.

Шаг 1: Определение данных

У нас есть следующие данные:

• Вероятность поражения цели (успеха) \( p = 0,7 \)
• Вероятность промаха (неуспеха) \( q = 1 - p = 0,3 \)
• Общее число попыток \( n = 10 \)
• Нужно найти вероятность того, что цель будет поражена не менее 4 и не более 5 раз, т.е. \( P(4 \leq X \leq 5) \), где \( X \) — число успешных попыток.

Шаг 2: Формула биномиального распределения

Вероятность получения ровно \( k \) успешных попыток в \( n \) попытках можно вычислить по формуле биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где:

• \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальный коэффициент.

Шаг 3: Вычисление вероятностей

Теперь нам нужно вычислить \( P(X = 4) \) и \( P(X = 5) \).

Вычисление \( P(X = 4) \)

1. Биномиальный коэффициент: \[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

2. Вероятность: \[ P(X = 4) = C(10, 4) \cdot p^4 \cdot q^{10-4} = 210 \cdot (0,7)^4 \cdot (0,3)^6 \]

   Вычисляем:

   • \( (0,7)^4 = 0,2401 \)
   • \( (0,3)^6 = 0,729 \)

   Подставляем: \[ P(X = 4) = 210 \cdot 0,2401 \cdot 0,729 \approx 210 \cdot 0,17564 \approx 36,80 \text{ (округлено)} \]

Вычисление \( P(X = 5) \)

1. Биномиальный коэффициент: \[ C(10, 5) = \frac{10!}{5!(10-5)!} = 252 \]

2. Вероятность: \[ P(X = 5) = C(10, 5) \cdot p^5 \cdot q^{10-5} = 252 \cdot (0,7)^5 \cdot (0,3)^5 \]

   Вычисляем:

   • \( (0,7)^5 = 0,16807 \)
   • \( (0,3)^5 = 0,243 \)

   Подставляем: \[ P(X = 5) = 252 \cdot 0,16807 \cdot 0,243 \approx 252 \cdot 0,04096 \approx 10,32 \text{ (округлено)} \]

Шаг 4: Общая вероятность

Теперь мы можем найти общую вероятность того, что цель будет поражена не менее 4 и не более 5 раз:

\[ P(4 \leq X \leq 5) = P(X = 4) + P(X = 5) \]

Подставив вычисленные значения:

\[ P(4 \leq X \leq 5) \approx 36,80 + 10,32 \approx 47,12 \]

Ответ

Следовательно, вероятность того, что цель будет поражена не менее 4, но не более 5 раз при 10 попытках, составляет примерно 47,12%.