Вероятность поражения цели равна 0,7. Определи вероятность, что при 10 попытках цель будет поражена не менее 4, но не более 5 раз.

Для решения задачи о вероятности поражения цели мы можем использовать биномиальное распределение. Давайте пошагово разберем, как это сделать. ### Шаг 1: Определение данных У нас есть следующие данные: - Вероятность поражения цели (успеха) \( p = 0,7 \) - Вероятность промаха (неуспеха) \( q = 1 - p = 0,3 \) - Общее число попыток \( n = 10 \) - Нужно найти вероятность того, что цель будет поражена не менее 4 и не более 5 раз, т.е. \( P(4 \leq X \leq 5) \), где \( X \) — число успешных попыток. ### Шаг 2: Формула биномиального распределения Вероятность получения ровно \( k \) успешных попыток в \( n \) попытках можно вычислить по формуле биномиального распределения: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где: - \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальный коэффициент. ### Шаг 3: Вычисление вероятностей Теперь нам нужно вычислить \( P(X = 4) \) и \( P(X = 5) \). #### Вычисление \( P(X = 4) \) 1. Биномиальный коэффициент: \[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \] 2. Вероятность: \[ P(X = 4) = C(10, 4) \cdot p^4 \cdot q^{10-4} = 210 \cdot (0,7)^4 \cdot (0,3)^6 \] Вычисляем: - \( (0,7)^4 = 0,2401 \) - \( (0,3)^6 = 0,729 \) Подставляем: \[ P(X = 4) = 210 \cdot 0,2401 \cdot 0,729 \approx 210 \cdot 0,17564 \approx 36,80 \text{ (округлено)} \] #### Вычисление \( P(X = 5) \) 1. Биномиальный коэффициент: \[ C(10, 5) = \frac{10!}{5!(10-5)!} = 252 \] 2. Вероятность: \[ P(X = 5) = C(10, 5) \cdot p^5 \cdot q^{10-5} = 252 \cdot (0,7)^5 \cdot (0,3)^5 \] Вычисляем: - \( (0,7)^5 = 0,16807 \) - \( (0,3)^5 = 0,243 \) Подставляем: \[ P(X = 5) = 252 \cdot 0,16807 \cdot 0,243 \approx 252 \cdot 0,04096 \approx 10,32 \text{ (округлено)} \] ### Шаг 4: Общая вероятность Теперь мы можем найти общую вероятность того, что цель будет поражена не менее 4 и не более 5 раз: \[ P(4 \leq X \leq 5) = P(X = 4) + P(X = 5) \] Подставив вычисленные значения: \[ P(4 \leq X \leq 5) \approx 36,80 + 10,32 \approx 47,12 \] ### Ответ Следовательно, вероятность того, что цель будет поражена не менее 4, но не более 5 раз при 10 попытках, составляет примерно 47,12%.