найти точку минимума функции у=2/3х корень х -2х+1
Чтобы найти точку минимума функции \( y = \frac{2}{3}x \sqrt{x} - 2x + 1 \), мы будем следовать нескольким шагам. Прежде всего, нам нужно найти производную функции и решить уравнение, равное нулю. Затем мы можем использовать вторую производную для проверки, действительно ли у нас минимум.
Шаг 1: Найдем производную функции
Находим производную \( y' \):
- Функция \( y = \frac{2}{3} x \sqrt{x} - 2x + 1 \) можно упростить для удобства:
- \( \sqrt{x} = x^{1/2} \)
- Таким образом, \( \frac{2}{3} x \sqrt{x} = \frac{2}{3} x \cdot x^{1/2} = \frac{2}{3} x^{3/2} \).
Теперь у нас есть: \[ y = \frac{2}{3} x^{3/2} - 2x + 1 \]
- Теперь найдем производную: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{3} x^{3/2} \right) - \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(1) \]
Используем правило дифференцирования: \( \frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1} \):
- Для первой части: \( \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = x^{1/2} \).
- Для второй части: \( -2 \).
- Для константы: \( 0 \).
Следовательно, \[ y' = x^{1/2} - 2 \]
Шаг 2: Найдем критические точки
Ставим первую производную равной нулю для нахождения критических точек: \[ x^{1/2} - 2 = 0 \] \[ x^{1/2} = 2 \] Теперь возведем обе стороны в квадрат: \[ x = 4 \]
Шаг 3: Проверим, является ли это минимумом
Для этого найдем вторую производную \( y'' \): \[ y' = x^{1/2} - 2 \] \[ y'' = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]
Теперь подставим найденное значение \( x = 4 \): \[ y''(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} \]
Так как \( y''(4) > 0 \), это подтверждает, что в точке \( x = 4 \) действительно есть минимум.
Шаг 4: Найдем значение функции в точке минимума
Теперь давайте найдем значение функции в этой точке: \[ y(4) = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 2(4) + 1 \] Сначала найдем \( (4)^{3/2} = (4^1)^{3/2} = 4^{3/2} = 8 \): \[ y(4) = \frac{2}{3} \cdot 8 - 8 + 1 = \frac{16}{3} - 8 + 1 \] Преобразуем: \[ 8 = \frac{24}{3}, \quad 1 = \frac{3}{3} \implies y(4) = \frac{16}{3} - \frac{24}{3} + \frac{3}{3} = \frac{16 - 24 + 3}{3} = \frac{-5}{3} \]
Ответ
Таким образом, точка минимума функции \( y = \frac{2}{3}x \sqrt{x} - 2x + 1 \) находится в точке \( (4, -\frac{5}{3}) \).
