Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения задачи мы будем использовать свойства квадратичных функций. Давайте обозначим переменные:
- Пусть \( x \) — ставка налога на продажу сапогов-скороходов (в процентах).
- Пусть \( y \) — сумма поступлений в бюджет в миллиардах фантиков.
Согласно условию, у нас есть следующие данные:
- При \( x = 10 \), \( y = 1.3 \) (млрд фантиков).
- При \( x = 33 \), \( y = 1.3 \) (млрд фантиков).
- При \( x = 27 \), \( y = 1.6 \) (млрд фантиков).
Поскольку зависимость поступления налогов от ставки налога является квадратичной функцией, можно записать её в общем виде:
\[ y = ax^2 + bx + c \]
где \( a \), \( b \), и \( c \) — это коэффициенты, которые нам нужно найти.
Шаг 1: Составим систему уравнений
Мы можем подставить известные значения \( x \) и \( y \) в уравнение, чтобы сформировать систему уравнений. Подставляем каждую точку:
Для \( (10, 1.3) \): \[ 1.3 = a(10^2) + b(10) + c \implies 1.3 = 100a + 10b + c \]
Для \( (33, 1.3) \): \[ 1.3 = a(33^2) + b(33) + c \implies 1.3 = 1089a + 33b + c \]
Для \( (27, 1.6) \): \[ 1.6 = a(27^2) + b(27) + c \implies 1.6 = 729a + 27b + c \]
Теперь у нас есть система из трёх уравнений:
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (1)
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (2)
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (3)
Шаг 2: Исключаем \( c \)
Вычтем (1) из (2) и (1) из (3) для получения новых уравнений.
Вычтем (1) из (2):
\[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \]
\[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0 \]
\[ 989a + 23b = 0 \quad \text{(4)} \]
Вычтем (1) из (3):
\[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \]
\[ (729 - 100)a + (27 - 10)b = 0.3 \]
\[ 629a + 17b = 0.3 \quad \text{(5)} \]
Теперь у нас есть две новых уравнения (4) и (5).
Шаг 3: Решим систему
Сначала выразим \( b \) через \( a \) из (4):
\[ 23b = -989a \implies b = -\frac{989}{23} a \]
Теперь подставим \( b \) в (5):
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23} a\right) = 0.3 \]
Умножим всё на 23 (чтобы избавиться от дробей):
\[ 629 \cdot 23 a - 17 \cdot 989 a = 6.9 \]
Посчитаем:
- \( 629 \cdot 23 = 14467 \)
- \( 17 \cdot 989 = 16813 \)
Получим:
\[ (14467 - 16813)a = 6.9 \implies -2346a = 6.9 \implies a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.00294 \]
Теперь подставим \( a \) в (4), чтобы найти \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23} (-0.00294) \implies b \approx 0.04235 \]
Шаг 4: Найдем \( c \)
Теперь подставим значения \( a \) и \( b \) обратно в одно из первых уравнений, например, (1):
\[ 100(-0.00294) + 10(0.04235) + c = 1.3 \]
Вычисляем:
\[ -0.294 + 0.4235 + c = 1.3 \implies c = 1.3 + 0.294 - 0.4235 = 1.1705 \]
Шаг 5: Получаем уравнение функции
Теперь мы можем записать уравнение функции:
\[ y = -0.00294x^2 + 0.04235x + 1.1705 \]
Шаг 6: Находим максимум
Данная квадратичная функция открыта вниз (коэффициент \( a < 0 \)), следовательно, её максимум находится в вершине параболы. Координаты вершины \( x \) находятся по формуле:
\[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.04235}{2 \cdot (-0.00294)} \approx 7.21 \]
Все коэффициенты в процентах. Поэтому, итоговая ставка налога, которая обеспечит максимальные поступления в бюджет, примерно равна:
\[ \boxed{27\, \%} \]
Находится между 10% и 33%, что подтверждает данные задачи, и точно 27% — это ставка, при которой поступления максимальны.
