Для решения задачи о вероятности того, что все извлеченные детали окажутся стандартными, давайте разберемся поэтапно.
Шаг 1: Определение значений
У нас есть 3 ящика, каждый из которых содержит 20 деталей, и известное количество стандартных деталей в каждом:
- Ящик 1: 7 стандартных из 20 деталей.
- Ящик 2: 5 стандартных из 20 деталей.
- Ящик 3: 8 стандартных из 20 деталей.
Шаг 2: Находим вероятность извлечения стандартной детали из каждого ящика
Вероятность извлечения стандартной детали из первого ящика:
[
P(A_1) = \frac{\text{Количество стандартных деталей в ящике 1}}{\text{Общее количество деталей в ящике 1}} = \frac{7}{20}
]
Вероятность извлечения стандартной детали из второго ящика:
[
P(A_2) = \frac{\text{Количество стандартных деталей в ящике 2}}{\text{Общее количество деталей в ящике 2}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}
]
Вероятность извлечения стандартной детали из третьего ящика:
[
P(A_3) = \frac{\text{Количество стандартных деталей в ящике 3}}{\text{Общее количество деталей в ящике 3}} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}
]
Шаг 3: Находим общую вероятность того, что все детали стандартные
Поскольку извлечение деталей из каждого ящика не зависит друг от друга, общая вероятность того, что все три детали окажутся стандартными, равна произведению вероятностей:
[
P(\text{все стандартные}) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3)
]
Подставим найденные вероятности:
[
P(\text{все стандартные}) = \frac{7}{20} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}
]
Шаг 4: Вычисление
Теперь посчитаем:
- Произведение числителей: ( 7 \cdot 1 \cdot 2 = 14 )
- Произведение знаменателей: ( 20 \cdot 4 \cdot 5 = 400 )
Таким образом:
[
P(\text{все стандартные}) = \frac{14}{400}
]
Шаг 5: Упрощение дроби
Чтобы упростить дробь, найдем общий делитель для числителя и знаменателя:
[
\frac{14}{400} = \frac{7}{200}
]
Ответ
Вероятность того, что все изъятые детали будут стандартными, составляет:
[
\frac{7}{200}
]
Это и есть искомый результат.
