В данной задаче мы имеем прямоугольный треугольник, в котором один из катетов равен ( b = 15 ), а противолежащий угол (угол ( B )) равен ( 60^\circ ). Нам нужно найти другой катет и гипотенузу этого треугольника.
Шаг 1: Понять треугольник
В прямоугольном треугольнике один из углов равен ( 90^\circ ). Таким образом, если мы имеем угол ( B = 60^\circ ), то второй ненулевой угол (обозначим его ( A )) можно найти по формуле:
[
A = 90^\circ - B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ
]
Теперь мы имеем треугольник с углами ( 30^\circ, 60^\circ ) и ( 90^\circ ).
Шаг 2: Использовать соотношения между сторонами
В прямоугольном треугольнике со средними углами ( 30^\circ, 60^\circ ) и ( 90^\circ ) действуют следующие соотношения:
- Сторона, противолежащая углу ( 30^\circ ) (это наш катет ( b )) равна половине гипотенузы,
- Сторона, противолежащая углу ( 60^\circ ) будет равна ( b \sqrt{3} ), где ( b ) — это длина катета, противолежащего углу ( 30^\circ ).
Шаг 3: Находим гипотенузу ( a )
Поскольку ( b ) — это сторона, противолежащая углу ( 30^\circ ), мы можем найти гипотенузу ( a ) следующим образом:
[
a = 2b = 2 \times 15 = 30
]
Шаг 4: Находим другой катет ( c )
Теперь используем соотношение для нахождения другого катета ( c ), который противолежит углу ( 60^\circ ):
[
c = b \sqrt{3} = 15 \sqrt{3}
]
Шаг 5: Получаем окончательный ответ
Теперь у нас есть значения для всех сторон треугольника:
- Гипотенуза ( a = 30 )
- Другой катет ( c = 15 \sqrt{3} )
Окончательный ответ:
- Гипотенуза треугольника: ( 30 )
- Другой катет треугольника: ( 15 \sqrt{3} ) (примерно ( 25.98 ))
Таким образом, мы решили задачу, используя тригонометрические свойства прямоугольного треугольника.
